Resumo Matemática – Polinômios

Resumo matemática – Polinômios

Expressão polinomia se define por uma expressão na qualum complexo é acom[pic 1]panhado de uma incógnita incógnita x elevado a um determinado expoente, seguindo por um outro coeficiente acompanhado de x elevado a um termo menor que o anterior.

[pic 2]

O primeiro elemento de um polinômio define o grau do mesmo. Não se caracteria como polinômio as seguintes características:

• Expoente negativo ([pic 3]
• Variável x como denominador ( )[pic 4]
• Expoente fracionário ([pic 5]
• Variável sob radicanl ([pic 6]

O valor numérico de um polinômio p(x) é descoberto substituindo α em x. Já um polinômio é igual a outro polinômio se os coeficientes são iguais.

As operações que podem haver entre os polinômios são soma, subtração, divisão e multiplicação. Soma e subtração são feitos normalmente, subtraindo termo com termo. Já multiplicação é realizada através da distributiva.

Ja a divisão, é necessário mais atenção, pois o quociente (q(x)) deve ter grau menor que o divisor (d(x)). Após calcular um número em baixo da chave e multiplicar pelo d(x), o resultado sairá com sinal invertido. Para tornar esse processo mais rápido, foi criado o dispositivo de Briot – Ruffini, onde só é válido para divisores de até grau 1 ou situações em que haja multiplicidade de raiz. É utilizado da seguinte forma:

[pic 7]

Em d(x) é colocado a raiz do divisor. M, n, o, p e q são os coeficiente do p(x), sendo q o termo independente e R(x) o resto da divisão. Para o primeiro termo, apenas o baixamos, multiplicamos por d(x) e somamos com o próximo termo. Se por acaso o R(x) for 0, significa que a raiz do divisor é também raiz do polinômio.

Para facilitar ainda mais, o matemático francês D’Alembert provou que se substituirmos a raiz de um monômio do tipo x – a em p(x) -> p(a), encontraremos o valor do resto. Isso ficou conhecido como o Teorema de D’Alembert. A partir disso, podemos afirmar que se a divisão de p(x) por d(x) for igual a 0, d(x) será além de raiz, fator de p(x).[pic 8]

[pic 9]

Chamamos isso de Teorema do fator.

A raiz de um polinômio será um valor x que, se substituído em p(x), resultará em 0. Como o grau do polinômio mostra o número de raizes, em polinômios acima de grau 1, teremos então um conjunto solução de raízes. Podemos, assim como na função quadrática, fatorar um polinômio.

p(x) = )[pic 10][pic 11]

Resumindo, um polinômio de grau n tem n raízes complexas. Esse é o Teorema Fundamental da Álgebra.

Haverá situações em que um mesmo divisor consiga ser raiz e assim faça chegar ao resultado zero mais de uma vez, fazendo diminuir o polinômio até determinado grau, no qual não funcione mais.

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Agora é possível encontrar as outras duas raizes por Bhaskara, e que x+1, é uma raiz dupla. O conceito é o mesmo para raizes triplas, quadruplas, etc.. Isso é a multiplicidade de uma raiz.

Albert Girard foi um matemático belga que definiu algumas relações entre as raozes e equação polinomial e seus coeficiente. Essas são as Relações de Girard. Em uma equação do segundo grau, teremos:

 Onde X1 e X2 são as raizes da equação.[pic 16]

Na equação de 3º grau, será:

• [pic 17]
• [pic 18]
• [pic 19]

Para um polinômio de grau n, será: