A ATIVIDADE AVALIATIVA II – TEOR IA DOS NÚMEROS

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ATIVIDADE AVALIATIVA II – TEOR IA DOS NÚMEROS

 

1. Determinar os inteiros positivos a e b sabendo:

 

       a) ab = 4032 e o mmc(a; b) = 336.

 

Solução:

Temos  mdc(a,  b).mmc(a,  b)  =  ab.      Portanto,  mdc(a,  b)  =  4032  :  336  =  12  

Como 12 é o mdc(a, b),  a = 12x e b = 12y com x e y primos entre si.  

4032  =  12x.12y  =  144xy  ⎝  x y  =  28  ⎝  x  =  1  e  y  =  28  ou  x  =  4  e  y  =  7.  

Assim,  a  =   12.1=   12    e   b   =  12.28  =  336              ou  a  =  12.4    =  48  e  b  =  12.7  =  84.  

Resposta: 12 e 336 ou 48 e 84

 

       b) mdc(a; b) = 8 e o mmc(a; b) = 560.

Solução:

Sendo mdc(a, b) = 8 ,  a = 8.x   e b = 8.y,  com x e y primos entre si.  

mmc(a, b) . mdc(a, b) = 8.560 = 4480  

8x.8y = 4480 ⎝ x.y = 70  ⎝ x = 1 e y = 70, ou x = 2 e y = 35 ou x = 7 e y = 10

ou x = 5 e y = 14.  

Para x = 1 e y = 70,  a = 8.1= 8  e b = 8.70 = 560.  

Para x = 2 e y = 35,  a = 8.2 = 16 e b = 8.35 = 270  

Para x = 7 e y = 10, a = 8.7 = 56 e b = 8.10 = 80  

Para x = 5 e y = 14,  a = 8.5 = 40 e  b = 8.14 = 112.  

Resposta:  8 e 560, ou 16 e 270, ou 56 e 80,  ou 40 e 112. 

2. Determinar todos os primos p tais que 3p + 1 é um quadrado perfeito.

Solução:

Para p = 2, temos 3p + 1 = 3.2 + 1 = 7 que não é quadrado perfeito.

Os demais primos são ímpares, portanto, 3p + 1 é par, pois 3p é ímpar.

Temos (2k)2 = 4k2 = 3p + 1 ⇒ 4k2 – 1 = 3p. Ora, 4k2 – 1 = (2k + 1)(2k – 1) = 3p

Como p é primo, (2k + 1)(2k – 1) somente admitem como fatores 3 e p.

Portanto, 2k + 1 = 3 ⇒ p = 2k – 1 = 1, solução que não tem validade pois 1 não é

primo, ou 2k – 1 = 3 ⇒ p = 5.

3.  Determinar  todas   as  soluçõ es  inteiras  e  positivas  das  se guintes  equações  diofantinas

lineares.

 a) 32x + 55 y = 771

 

Solução:  

mdc(32, 55) = 1  

55 = 32.1 + 23; 32 = 23.1 + 9; 23 = 9.2 + 5; 9 = 5.1 + 4; 5 = 4.1 + 1

1 = 5 – 4.1 = 5 – (9 – 5.1).1 = 5.2 – 9.1 = (23 – 9.2).2 – 9.1 =  

= 23.2 – 9.5 = 23.2 – (32 – 23.1)5 =

= 23.7 – 32.5 = (55 – 32.1).7 – 32.5 = 32.(-12) + 55(7)

771 = 771.1 = 32(-12.771) + 55.(771.7) = 32.(-9252) + 55(5397)

Solução geral: x = -9252 + (55/1)t = -9252 + 55t e y = 5397 – (32/1)t = 5397 –

32t  

Para soluções positivas -9252 + 55t > 0 ⇒ t > 168 e 5397 – 32t > 0 ⇒ t < 168 ⇒ 

não é possível. Portanto, não existem soluções positivas.

 

b) 123x + 360y = 99;

123x + 360y = 99. Resposta: Não tem soluções positivas.

 

   4. Resolver as seguintes congruências lineares:

 

a) 6x   15(mod21):

 

Solução:

Equação  correspondente:  6x  –  21 y  =  15.  mdc(6,  21)  =  3    (3  sol uções)  

Solução particular  x  = - 1 e  y =  -1. Outras soluçõ es: x  = -1 +  (-21/3)t =  -1 –  7t ⇒ 

x  ≡  -1  (mod.7)   ⇒ x   ≡  -  1  ≡  -1  +  7  =  6,   x   ≡  6  +  7  =  13  e  x  ≡  13  +  7  =