A MATEMÁTICA FINANCEIRA

Aula 10: dia 11/03/2020

1. – Estudo das Taxas

1. – Taxas Proporcionais (juros simples)

As taxas i1 e i2 são ditas proporcionais se, com relação aos períodos n1 e n2, expressos na mesma unidade de tempo, ocorrer:

[pic 2]

Exemplo: As taxas 48% ao ano, 24% ao semestre, 12% ao trimestre são proporcionais, pois, se tomarmos meses como unidade de tempo, teremos:[pic 3]

1. – Taxas Equivalentes

• Taxas equivalentes são taxas que são dadas em referências temporais diferentes, mas produzem o mesmo montante se aplicadas ao mesmo capital, em um mesmo período.

Observação: Esta definição vale para qualquer tipo de capitalização.

A juros simples, duas taxas equivalentes são também proporcionais.

Porém, isso não acontece quando se trata de juros compostos.

Considere que um capital C é aplicado por 1 ano a taxas equivalentes nas referências descritas a seguir:

• Ano → ia;

• Semestre → is

• Trimestre → it;
• Bimestre → ib;
• Mês → im;

• Dia →id.

1. TAXAS EQUIVALENTES NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES:

Utilizando a fórmula dos Juros Simples, M=C(1+in), temos que

C[1+ia (1)] = C[1+is (2)] = C[1+it (4)] = C[1+ib (6)]=C[1+im (12)] = C[1+id (360)]

OU SEJA:[pic 4]

1. TAXAS EQUIVALENTES NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

C(1+ia)1 = C(1+is)2 = C(1+it)4 = C(1+ib)6 = C(1+im)12 = C(1+id)360.

OU SEJA:

[pic 5]

Exercício 1: Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente mensal à taxa 12% ao ano?

(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑚)12

(1 + 0,12) = (1 + 𝑖𝑚)12

(1 + 𝑖𝑚)12 = 1,12

1 + 𝑖𝑚 = (1,12) 1/12

𝑖𝑚 = 0,009489

𝑖𝑚 = 0,95% 𝑎.m.

Exercício 2: Na capitalização composta, qual é a taxa equivalente semestral à taxa 20% ao ano?

Exercício 3: Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é 40% de ao ano. Se o investidor souber de outra alternativa onde é possível ganhar 9% ao trimestre, qual é a melhor escolha?

1. – Taxa Nominal e Taxa Efetiva

• Taxa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de capitalização.

Exemplo: Considere que uma quantia qualquer é emprestada e paga a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente.

Já vimos que 12% ao ano é equivalente a 0,95% ao mês. Porém, quando aparece a expressão “capitalizados mensalmente”, a taxa acima é a Taxa Nominal.

A taxa nominal não representa a taxa de juros que efetivamente está sendo utilizada na operação.

• Taxa efetiva é aquela utilizada no cálculo dos juros.

A Taxa Efetiva usada na operação é a proporcional à Taxa Nominal, sendo adquirida através da divisão da taxa pelo número de capitalizações para um período da taxa nominal.

No exemplo anterior, acima, 12% ao ano, capitalizados mensalmente

12% ao ano dividido por 12 meses (de capitalização) = 1% ao mês (Esta seria a Taxa Efetiva - em juros simples).

Para saber qual é a Taxa Efetiva anual (em juros compostos), usamos a equivalência entre taxas.

1 + 𝑖𝑎 = (1 + 𝑖𝑚)12

1 + 𝑖𝑎 = (1 + 0,01)12

𝑖𝑎 = (1,01)12 − 1

𝑖𝑎 = 0,126825

𝑖𝑎 = 12,68% 𝑎.a → ou seja, essa é a taxa efetiva anual

1. – Taxas Resultantes

Na Capitalização Composta, se em um determinado período tivermos 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ, taxas distintas e sucessivas, então a taxa resultante ir, no período total, é dada por