A Matemática é Repleta de Comparações

Introdução

O presente trabalho tem como tema polinômios idênticos; A matemática é repleta de comparações – feitas por meio do sinal de igualdade – que denotam se dois objetos matemáticos são ou não iguais. Sendo assim, no estudo dos polinômios, temos uma condição para que dois polinômios sejam iguais. Para que isso ocorra, temos que obter valores numéricos iguais para qualquer valor de a. Esperamos que os Estudantes de matemática, interessados na matéria, absorva o máximo de conhecimento.

Polinômios idênticos

Dois polinômios, P(x) e Q(x), são idênticos quando têm valores numéricos iguais, para qualquer valor que  já se atribua a x. Escreve-se: P(x) = Q(x). A condição necessária e suficiente para que dois polinômios de uma   EB variável sejam idênticos é que os coeficientes dos termos de mesmo grau sejam iguais.

Valor numérico de um polinômio

É o valor que o polinômio assume para um determinado valor da variável x. Se x = a, indica-se esse valor numérico por P(a).

Exercício resolvido

Sendo P(x) = x5 + 2×3 – x2 – l, calcular P(0) e P(-l).
P(0) = O5 + 2 • O3 – O2 – l = -l

Logo,
P(x) =  Q(x)

Observação: Quando ocorrer P(a) = O dizemos que a é raiz ou zero do polinômio P.

Exercício resolvido

Determinar os valores de a, b, c e d para que P(x) = 2×3 – 5x + 6 seja idêntico ao polinómio Q(x) – ax3 + bx2 + cx + d. Comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau, conclui-se que:
•  coeficientes de x3: 2                    a = 2
•  coeficientes de x2: O = b              b = O
•  coeficientes de x: -5 = c               c = -5
•  termos independentes: 6 = d         d = 6

As raízes ou zeros de P(x) = x2 – 5x + 6 são 2 e 3, pois P(2) = 22-5-2 + 6 = 0 P(3) = 32-5-3 + 6 = 0.

Operações com polinômios e Adição de polinômios

Dados dois monômios semelhantes axn e bxn, sua soma é definida pelo monômio (a + b)xn. Dados dois polinômios, P(x) e Q(x), sua soma é definida por um novo polinômio, cujos termos são as somas dos pares de termos semelhantes nos polinômios-parcelas.

Observação

Os polinômios envolvidos na divisão devem satisfazer as seguintes condições:
•           D(x) – d(x) • Q(x) + R(x)
•           gr(R) < gr(d) ou R(x) = O

Observação

Sendo gr(P) e gr(Q) os graus dos polinômios P(x) e Q(x), então
gr(P) = gr(Q)                  gr(P + Q) < gr(P) gr(P) > gr (Q)                 gr(P + Q) = gr(P)

Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (ax + b) é igual ao valor numérico de P(x) para x igual à raiz do divisor.

Exercício resolvido

Dados A(x) = 3×3 – 5×2 + 4x – l e B(x) – 3×2 – 2x + 5, tem-se
•         A(x) + B(x) = 3×3 – 2×2 + 2x + 4
•         A(x) – B(x) = 3×3 – 8×2 + 6x – 6

Multiplicação de polinômios

Dados dois polinômios, axp e bxq, define-se o seu produto como sendo o monômio (ab)xp + q. Dados dois polinômios, A(x) e B(x), seu produto é definido pelo polinômio P(x), cujos termos são obtidos multiplicando-se cada termo de A(x) pelos termos de B(x) e somando-se os termos semelhantes assim obtidos. O grau de P(x) é a soma dos graus de A(x) e B(x).

Exercício resolvido

Dados A(x) = x2 + 4x e B(x) = 3x + 5, temos, por meio da propriedade distributiva:
•     A(x) • B(x) – (x2 + 4x) • (3x + 5) = 3×3 + l7x2 + 20x

Divisão de polinômios

Considere os polinômios D(x) e d(x), não-nulos, tais que o grau de D(x) seja maior ou igual ao grau de d(x). Nessas condições, podemos efetuar a divisão de D(x) por d(x), encontrando dois polinômios: Q(x) e R(x).

Algoritmo de Briot-Ruffini

Consiste em um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a).

Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini: raiz do divisor

Considerar

P(x) = anxn + a^x”-1 + an_2xn-2 + … + a,x + a0.
Esse dispositivo pode ser descrito pelos seguintes passos: •     dispor todos os coeficientes de P(x) na chave;

• abaixa-se” o lº coeficiente do dividendo. Então: (-2) • (2) + O – -4

•     colocar à esquerda a raiz de (x – a);
Daí,
(-2) • (-4) + (-2) = 6
-4

Resto coeficientes do quociente

• “abaixar” o primeiro coeficiente (an), que corresponde ao primeiro coeficiente do quociente. Em seguida, multiplicar an pela raiz a e somar o resultado ao segundo coeficiente de P(x), obtendo o segundo coeficiente do quociente;