A RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

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A realização deste MAPA constará da resolução da atividade proposta abaixo, tomando como referência, a definição de RELAÇÃO DE

EQUIVALÊNCIA. Para tanto, siga as orientações:

1. Revise a definição de Relação e dos elementos necessários para que esta relação se torne uma RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA.

2. Leia com atenção a atividade, destacando e levando em consideração as solicitações em cada item.

3. Apresente as respostas solicitadas de forma sequencial e organizadas.

4. Vale ressaltar, que este trabalho será realizado de modo individual.

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Como apresentado em nossos estudos a relação de equivalência desempenha um enorme papel na matemática, podemos decompor um conjunto não vazio em subconjuntos, a ideia é partir de um conjunto, em princípio mais complicado, A e tentar criar um outro conjunto B, mais simples, que vê elementos distintos de A como iguais. Então, estudando-se o conjunto mais simples B pode-se tirar conclusões sobre A.

A palavra equivalência deriva do latim: equi = igual + valência = valor. Em Geometria, significa que podemos comparar figuras que possuem por exemplo a mesma área, ou o produto cartesiano de um conjunto com ele mesmo, o gráfico de uma função e outras mais. De maneira análoga as Relações de Equivalência num conjunto A é uma relação binária que atende a alguns requisitos, para ser verdadeira ela deve ser:

• Ɐ a ϵ A, aRa, dizemos que ela é Reflexiva;
• Ɐ a,b ϵ A, aRb => bRa, dizemos que ela Simétrica;
• Ɐ a,b,c ϵ A, aRb  bRc => aRc, dizemos que ela Transitiva.[pic 5]

A relação R apresentada no plano cartesiano por (x,y)R(a,b) → x²+y² = a²+b² é uma relação de equivalência, porque atende a todos os critérios da relação, ela é Reflexiva, Simétrica e Transitiva.

Seja R a relação definida no plano cartesiano por (a,b)R(c,d) se, e somente se, a²+b²=c²+d². Se (x,y) é um par ordenado tal que (x,y)R(a,b).

• Dizemos que R é Reflexiva, se para todo (a,b)R(a,b), tem-se (a,b) ϵ R. Tomemos os pontos (a,b), então

x²+y² = a²+b²[pic 6]

a²+b² = a²+b²

Vale a propriedade reflexiva, pois (a,b)R(a,b), significa que x²+y² = x²+y².

• Dizemos que a relação binária em R é Simétrica se para todo (a,b) R(b,c). Tomemos os pontos (a,b) e (c,d) então

x²+y² = a²+b²[pic 7][pic 8]

a²+b² = c²+d²             é  igual a             c²+d² = a²+b²  

         

Vale a propriedade simétrica, pois (a,b)R(c,d) e (c,d)R(a,b) significa que é simétrica.

• Dizemos que a relação binária em R é transitiva se a,b,c ϵ R são tais que (a,b)R(c,d) e (c,d)R(e,f) então (a,b)R(e,f). Tomemos os pontos (a,b),(c,d) e (e,f) então

a²+b² = c²+d²          e           c²+d² = e²+f²          

Logo,

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a²+b² = e²+f²

Isto é, (a,b)R(e,f), assim a relação é transitiva.

Referências

ANDRADE, Doherty. Estruturas Algébricas. 22 ed. Maringá - Pr.: UniCesumar, 2016.

Relação de equivalência. Disponível em:<https://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_equival%C3%AAncia>. Acesso: 02 nov. 2017.

Relação de Equivalência. Disponível em:<http://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/15251016022012Fundamentos_de_Matematica_aula_13.pdf>. Acesso: 02 nov. 2017.