A lei dos cosenos

A lei dos co-senos

Introdução Utilizando as razões trigonométricas nos tri-

ângulos retângulos, podemos resolver vários problemas envolvendo ângulos e

lados. Esse tipo de problema é conhecido como resolução de triângulos. Conhecendo

dois elementos de um triângulo retângulo, quase sempre podemos

determinar os outros elementos, como veremos nos exemplos a seguir:

Conhecendo dois lados, e usando o Teorema de Pitágoras, determinamos a

medida do terceiro lado:

b2 = 82 - 42

b = 64 -16 = 48

b =4 3@6,92

Usando as razões trigonométricas e consultando a tabela trigonométrica,

determinamos os ângulos agudos.

$C

= 90º -$B Þ $C= 30º

Se conhecermos um lado e um ângulo, poderemos determinar os outros

dois lados:

cos$B =

4

8

=

1

2

Þ $B = 60º

42

A U L A

Sabendo que os ângulos agudos são complementares, determinamos o outro

ângulo: $C = 90º -$B Þ $C = 40º

Conhecendo os dois ângulos agudos, podemos construir vários triângulos

semelhantes (com os mesmos ângulos). Portanto, essa é a única situação

indeterminada na resolução de triângulos retângulos.

A hipotenusa unitária

Vimos nas aulas anteriores que as razões trigonométricas de um ângulo

agudo não dependem do triângulo retângulo escolhido. Na figura abaixo temos:

sen50º =

6

a

Þ a =

6

sen50º

=

6

0,766

@ 7,83

tg 50º =

6

c

Þ c =

6

tg50º

=

6

1,192

@ 5,03

sena =

b1

a1

=

b2

a2

=

b3

a3

=

catetooposto

hipotenusa

cosa =

c1

a1

=

c2

a2

=

c3

a3

=

catetoadjacente

hipotenusa

42

A U L A Observamos que, para o cálculo do seno e do co-seno de um ângulo,

dividimos um dos catetos pela hipotenusa do triângulo retângulo correspondente.

Já que podemos obter esse valor com qualquer um dos triângulos

semelhantes, é muito prático trabalharmos com um triângulo retângulo cuja

hipotenusa seja igual a 1.

Apenas nesse caso, em que a hipotenusa do triângulo retângulo é igual a 1,

podemos obter a medida dos catetos conhecendo seus ângulos agudos.

Observação

Para uma hipotenusa qualquer teríamos:

Veja, nos triângulos retângulos abaixo, a medida dos catetos:

a) b)

x = sen 45º = 2

2 x = sen 30º = 1

2

y = cos 45º = 2

2 y = cos 30º = 3

2 @ 0,866

sena =

b

1

= b

cosa =

c

1

=c

42

A variação do seno e do co-seno A U L A

Na figura a seguir, temos uma circunferência cujo raio é igual a 1 dm (um

decímetro). Para vários ângulos diferentes, podemos obter os valores do seno e

do co-seno (em decímetros) apenas medindo os catetos dos triângulos formados.

BP = sen AÔP OB = cos AÔP

CQ = sen AÔQ OC = cos AÔQ

DR = sen AÔR OD = cos AÔR

e assim por diante...

A partir dessa figura, podemos concluir que:

I) Quanto maior o ângulo, maior a medida do cateto oposto (ou seja, maior o

valor do seno).