ATPS Calculo II

ETAPA 1 - PASSO 1

Conceito de Velocidade Instantânea

A velocidade escalar instantânea é considerada um limite da velocidade escalar média, quando o intervalo de tempo for zero. Ela é derivada do espaço em relação ao tempo.

Essa equação representa a derivação:

v= ds/dt

A velocidade escalar instantânea possui um sinal que define o sentido do movimento ao longo da trajetória. Como por exemplo: se V > 0, o corpo vai no sentido positivo da trajetória. Já se V < 0, o corpo vai na direção negativa da trajetória.

Quando a aceleração escalar média chega ao seu limite, temos a aceleração escalar instantânea que é a aceleração do corpo em um determinado momento, isto é, quando o intervalo de tempo tende a ser zero.

Podemos então comparar a física com cálculo através da função:

Também podemos dizer que esta aceleração se origina da velocidade escalar instantânea V = f(t) de acordo com o tempo.

A equação pode ser escrita também da seguinte forma:

Por exemplo, se temos um ponto móvel A qualquer, e este se desloca em uma linha reta horizontal a partir de um ponto B.

O deslocamento dado por s, de A em relação ao ponto B, é a distância de A a B.

Se A estiver a direita de B, o deslocamento é positivo e se A estiver a esquerda de B, o deslocamento é negativo.

Deste modo, a linha horizontal passa ser um eixo e sua origem indicada neste caso por A. Já o deslocamento s depende do instante de tempo t, ou seja, s é uma função da variável t:

s = s(t)

Em um determinado instante o deslocamento de A é s0 = s(t0), já em outro instante posterior é dado por s1 = s(t1).

A velocidade média do ponto A, no intervalo de tempo (t0,t1) é dada por:

Vm=(s1-s0)/(t1-t0)=(s(t1)- s(t0))/(t1-t0)

Podemos então escrever: t1 = t0 + ∆t, ou seja, ∆t = t1 - t0, e também:

∆s = s(t1) - s(t0) = s(t0 + ∆t) – s(t0).

Desta forma podemos então afirmar que a função abaixo é a forma correta de demonstrar a velocidade instantânea em função do deslocamento s:

∆s=(s(t0+ ∆t)- s(t0))/∆t=∆s/∆t

Exemplo: ∑ do ultimo algarismo do RA dos alunos do grupo.

RA’s: 6 + 2 + 6+7 = 21

S=S0+V0t+〖at〗^2/2

S = S0 + V0t + ∑ RA t^2

Portanto:

V=ds/dt=V0+ ∑▒〖RA 2t〗

ETAPA 1 - PASSO 2

Tabela com cálculos para intervalos entre 0 à 5 segundos.

Velocidade (m/s) x Tempo (t)

Intervalo 1

V = V0 + 21t

V = 0 + 21.0

V = 0 m/s Intervalo 2

V = V0 + 21t

V = 1 + 21.1

V = 22 m/s Intervalo 3

V = V0 + 21t

V = 2 + 21.2

V = 44 m/s

Intervalo 4

V = V0 + 21t

V = 3 + 21.3

V = 66 m/s Intervalo 5

V = V0 + 21t

V = 4 + 21.4

V = 88 m/s Intervalo 6

V = V0 + 21t

V = 5 + 21.5

V = 110 m/s

Tempo (s) Velocidade (m)

0 0

1 22

2 44

3 66

4 88

5 110

ETAPA 1 - PASSO 3

Aceleração Instantânea

Em Física, a aceleração (símbolo: a) é a taxa de variação (ou derivada em função do tempo) da velocidade. Ela é uma grandeza vetorial de dimensão comprimento/tempo² ou velocidade/tempo. Sua unidade de medida é quantificada em metro por segundo ao quadrado (m/s²).

Sempre que a velocidade de um móvel varia dizemos que esse móvel está acelerando. A aceleração é uma medida da variação da velocidade por intervalo de tempo.

De modo análogo à velocidade escalar instantânea, podemos obter a aceleração escalar instantânea, partindo da expressão que nos fornece a aceleração escalar média:

∆s=∆s/∆t

Com este procedimento, a aceleração escalar média tende para um valor denominado de aceleração escalar instantânea:

a=lim┬(∆t→0)⁡〖(∆v/∆t)^ 〗

A aceleração escalar instantânea representa a aceleração do móvel num determinado instante (t) e, mais precisamente, seu cálculo é feito através do processo de derivação, análogo ao ocorrido com a velocidade escalar instantânea.

A aceleração escalar instantânea de um móvel é obtida através da derivada da função horária de sua velocidade escalar.

Simbolicamente, isto é expresso assim:

a=dv/dt

Realizando a segunda derivação, temos:

〖ds〗^2/〖dt〗^2 =0+1a_____________________〖ds〗^2/〖dt〗^2 =a

A aceleração instantânea está ligada a um instante de tempo t, e é dada por:

a=(v-v0)/t