ATPS Calculo II

VELOCIDADE INSTANTÂNEA

É a velocidade percorrida em um intervalo de tempo, pode ser entendido como a velocidade de um corpo no exato instante percorrido.

Para se realizar o cálculo da velocidade instantânea, ou quando o intervalo de tempo por muito próximo de zero, usa-se o cálculo da derivada.

Derivando a equação de deslocamento em movimento uniforme acelerado em função do tempo.

s=sO+vOt+1/2at2 Função do deslocamento

v’=vo+at Primeira derivada, velocidade instantânea.

Usando o somatório dos dois últimos algarismos do RA=5 para exemplo de aceleração temos,

s=sO+vOt+0,2x5t2

Usando intervalos de tempo de 0 a 5s temos.

t (s) 0 1 2 3 4 5

S (m) 0 2,5 10 22,5 40 62,5

v(m/s2) 0 5 10 15 20 25

 

Em gráfico:

No gráfico da velocidade com o tempo, forma um triangulo cuja área deste é:

A= bxh

A= 25X5

A= 62,5m2

2 2

ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA

E é a rapidez com que um corpo pode se locomove de um tempo para outro ou de um lugar para outro, a rapidez com que a velocidade muda.

Pela definição de derivada encontramos a aceleração:

F(x)= lim h-0 F(x+h) –F(x)

h

F(a)= lim h-0 F(Vo+5t) – F(Vo+5t)

h

F(a)= lim h-0 Vo + 5x +5h-Vo-5x

h

F(a)= lim h-0

Vo + 5x +5h-Vo-5x

h

F(a)= lim h-0 5h

h

F(a)= lim h-0

5h

h

F(a)= 5

Como mostra a definição a aceleração é igual a velocidade, que a aceleração é a segunda derivada da função deslocamento.

Como mostra a tabela:

s=sO+vOt+0,2xat2 Função do deslocamento

v’=vo+at Primeira derivada, velocidade instantânea.

v"=a Segunda derivada, aceleração instantânea.

No exemplo anterior temos a aceleração:

s=sO+vOt+0,2x5t2

v’=vo+5t

v"=5 m/s2

Na tabela, um intervalo de tempo de 1 a 5s para a aceleração:

t (s) 1 2 3 4 5 6

a(m/s2) 5 5 5 5 5 5

No gráfico:

Por tanto tenho uma aceleração constante, ou seja, uma função constante.

E a área formada pelo gráfico é:

A=

bxh

A=

5x5

A= 25m2

Comparando os resultados da velocidade com o este resultado, pode afirma-se que a Área da velocidade pelo tempo equivale ao acréscimo de velocidade dentro da função velocidade, caso o valor velocidade inicial seja igual a zero, o resultado da função será o mesmo da área do gráfico função pelo tempo.

 

CONSTANTE DE EULER

O número de Euler (e) tem um valor aproximado de 2,71828. É à base dos logaritmos neperianos e define-se como o limite de (1+ (1/n))n quando n tende para infinito. Onde aparece a ligação de Euler a este número? Segundo a história a existência do número é anterior, sendo também conhecido como constante de Neper, mas foi o matemático suíço o primeiro a utilizar a letra e para identificá-lo e também tem o seu nome como homenagem.

O Número de Euler é um número irracional e também transcendente e apresentamo-lo a seguir com as primeiras 200 casas decimais: e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901.

- A constante de Euler-Mascheroni (y) tem o valor aproximado 0,57721 e define-se como sendo limite quando n tende para infinito de (1 + 1/2 + 1/3 ++... + 1/n - log n). Esta constante foi definida pela primeira vez em 1735 por Euler e tem múltiplas aplicações em Teoria dos Números.

Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito.

 

n 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 1000000

(1+(1/n))n 2 2,48832 2,59374 2,69159 2,70481 2,71557 2,71692 2,71801 2,71815 2,71827 2,71828

Com a tabela e gráfico, é possível verificar que o valor tende a variar menos a medida de que n aumenta.

 

SERIES HORMÔNICAS

As series hormônicas são progressões geométricas, e é provavelmente uma das mais famosas séries em matemática (Thomas,