ATPS - Calculo II

Sumário

Introdução 2

Velocidade e Aceleração instantânea 3

Gráfico da função espaço (m) x tempo (s) 4

Gráfico da função velocidade (m/s) x tempo (s) 4

Gráfico da função aceleração (m/s²) x tempo (s) 5

Constante de Euler 5

Séries Harmônicas 7

Série Harmônica Matemática 8

Crescimento Populacional 8

Função preço e função custo de intervalos de quantidades produzidas 9

Comparação de intervalo de quantidade produzida 9

Receita Média Marginal 10

Conclusão 11

Bibliografia 12

 

Introdução

A intenção desta ATPS é, falarmos da derivada e da constante de Euller. Sendo que no calculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada da função espaço). Do mesmo modo é a função aceleração que é a derivada da função velocidade, no desenvolver dos passos esta definição estará mais clara. Outro ponto a ser visto é a constante de Euller. Constituída por Leonhard Euller um grande matemático, que desenvolveu cálculos de grande importância desde a sua época ate dias atuais são utilizados, sendo uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado em cálculos diferenciais e integradas.

 

Velocidade e Aceleração instantânea

O conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.

Por outro lado, concluímos que o módulo da velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.

O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.

Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o módulo dessa velocidade instantânea. Podemos pensar que o módulo da velocidade instantânea v (t1) é o valor do módulo da velocidade média v (t1,t2) quando t2 é tomado muito próximo de t1.

Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v (t1) pode ser feito como o cálculo do módulo da velocidade média v (t1,t2), desde que o segmento de reta secante seja substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo.

É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo δt infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea υ ou simplesmente velocidade como sendo:

Exemplo: Função s = 2t³ + 2t² + 2t – 4

Velocidade:

v=ds/dt s^'=3x2t^(3-1)+ 2x2t^(2-1 )+ 2t^(1-1)-0 s^'=6t^2+ 4t^ + 2

v=6t^2+ 4t^ + 2

Aceleração:

Somatório dos últimos algarismos dos RA’s para compor a Aceleração

6447301552 + 6814005224 + 6818466312 + 6662258883 = 2+4+2+3 = 11

a=11m/s²

a=dv/dt v'=6t^(2-1)+ 4t^(1-1)+ 0 v'=6t+ 4

a=6t+ 4 11=6t+ 4 t=(11- 4)/6 t=1,16 s

Então, para uma aceleração de 11m/s² teremos um intervalo de tempo de 1,16 segundos.

Gráfico da função espaço (m) x tempo (s)

ESPAÇO X TEMPO

Tempo (s) espaço (m)

0 -4

1 3

2 28

3 83

4 180

5 331

S = 2t³ + 2t² + 2t – 4

Gráfico da função velocidade (m/s) x tempo (s)

v=6t^2+ 4t^ + 2

VELOCIDADE X TEMPO

Tempo (s) Velocidade (m/s)

0 2

1 12

2 34

3 68

4 114

5 172

Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como:

Aceleração média:

a_(m )=(v-v_o)/(t-t_0 )

Aceleração instantânea:

a=dv/dt

A aceleração é a função da velocidade em relação ao tempo a=dv/dt , a velocidade por sua vez é a função do espaço em relação ao tempo v=ds/dt .

Com essas informações e conforme nos cálculos anteriores temos que:

a=6t+ 4

Gráfico da função aceleração (m/s²) x tempo (s)

ACELERAÇÃO X TEMPO

Tempo (s) Aceleração (m/s²)

0 4

1 10

2 16

3 22

4 28

5 34

Constante de Euler

Euler legou à posteridade um número assombroso de trabalhos sobre as