ATPS Calculo II

ETAPA 1

AULA-TEMA: CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

PASSO 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com .

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.

Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o módulo dessa velocidade instantânea. Podemos pensar que o módulo da velocidade instantânea v (t1) é o valor do módulo da velocidade média v (t1,t2) quando t2 é tomado muito próximo de t1.

Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v (t1) pode ser feito como o cálculo do módulo da velocidade média v (t1,t2), desde que o segmento de reta secante seja substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo.

É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea ou simplesmente velocidade como sendo:

Exemplo: Função x = 3t² + t3 + 2t – 4

A velocidade instantânea é, portanto definida como o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que não tende a 0, a velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a média em todos os instantes.

Para isso a variação do tempo tem que ser zero , o que só pode ser calculado atravez de limite, tendendo a variação de tempo a zero , você cai numa derivada de primeira ordem.

Na formula aplicada na Física e Cálculo, a velocidade em qualquer instante de tempo é obtida através da velocidade média, reduzindo-a até tender a 0. V varia conforme diminui o valor de S, desta forma se o valor de S diminui, consequente o valor de T também. Então podemos afirmar que a velocidade é derivada da função espaço.

Fórmula aplicada em Física:

∆x : é variação de espaço.

∆t : variação de tempo.

Fórmula aplicada em Cálculo: Velocidade Instantânea =

h : é o intervalo de tempo.

t: é o tempo.

s: espaço

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Soma dos RA’s: 6+7+6+8 = 27

Exemplo:

y = 13,5t² - 5t => no tempo em 3 segundos.

v= dx/dt 13,5t² - 5t

Derivando posição em relação ao tempo:

v = 2.13,5t² ˉ ¹ - 1.5t¹ ˉ ¹ → v’ = 27t - 5

Aplicando no tempo igual a 3 segundos:

v = 27.3 - 5 → v = 76 m/s

Derivando velocidade em relação ao tempo:

a = dvdt 27t - 5 → a= 1.27t¹ ˉ ¹ → a’’ = 27 m/s²

A aceleração não varia em nenhum instante.

PASSO 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Gráfico S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s):

y = 13,5t² - 5t S(m) x t(s)

dydt = 27t - 5 V(m/s) x t(s)

dvdt = 27

Tempo(s) Espaço(m) Velocidade Inst(m/s) Aceleração(m/s²)

0 0 -5 27

1 11,5 28 27

2 56 61 27

3 133,5 94 27

4 244 127 27

5 387,5 160 27

S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s)

Função Potencia/Equação do 2º grau Variação espaço percorrido:

387,5 – 0 = 387,5 m

Gráfico dydt = 27t – 5

Função Linear/Equação do 1º grau Variação de velocidade: 160 – (-5) = 165 m/s

Área: Δs = 5.165 = 825 = 412,5 m

PASSO 3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.

Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Aceleração instantânea da partícula no instante t é o limite dessa razão quando Δt tende a zero. Na física a aceleração é a taxa de variação (ou derivada em função do tempo) da velocidade. Ela é uma grandeza vetorial, desaceleração é a aceleração que diminui o valor absoluto da velocidade. Com