ATPS De Calculo II - Anhanguera

. INTRODUÇÃO CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

A derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e fisicamente, como uma taxa de variação. Como derivadas podem ser usadas para representar tudo, desde a variação de taxas de juros até taxas em que peixes morrem e moléculas de gás se movimentam, elas têm implicações em todas as ciências.

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinador valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice(da sequência) vai crescendo, tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da analise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

1. ETAPA 1

Passo 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com ∆t →0.

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço) utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Como sabemos existem muitas maneiras de descrever quão rapidamente algo se move: velocidade média e velocidade escalar média, ambas as medidas sobre um intervalo de tempo Δt. Entretanto, a expressão “quão rapidamente” mais comumente se refere à quão rapidamente uma partícula está se movendo em um dado instante – sua velocidade instantânea ou simplesmente velocidade v.

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-se.

O intervalo de tempo Δt, fazendo-o tender a zero. À medida que Δt é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante:

v=lim∆t→0∆x∆t= dxdt

Esta equação mostra duas características da velocidade instantânea v. Primeiro v é a taxa na qual a posição da partícula x está em relação à t. Segundo, v em qualquer instante é a inclinação da curva (ou coeficiente angular da reta tangente á curva) posição-tempo da partícula no ponto representando esse instante. A velocidade é outra grandeza vetorial, e assim possui direção e sentido associados.

Em cálculo a velocidade instantânea é o número a que tendem as velocidades médias quando o intervalo diminui de tamanho, isto é, quando h torna-se cada vez menor. Definimos então, velocidade instantânea =Limite, quando h tende a zero, de sa+h-s(a)h.

Isso é escrito de forma mais compacta usando a notação de limite, da seguinte maneira:

Seja s(t) a posição no instante t. Então, a velocidade instantânea em t = a é definida como:

velocidade instantânea em t=a= limh→0sa+h-s(a)h

Em palavras, a velocidade instantânea de um objeto em um instante t = a é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a.

As equações utilizadas tanto em física como em calculo seguem a mesmo logica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição

Em relação ao seu tempo expressado por dx (t)dt t=t0 em que dx e a denotação da função posição ou espaço e t a denotação da função tempo.

Exemplo:

Soma dos RA:

Bruno: 7

Evandro:9

Jackson:0

Leidja: 0

Marcos: 9

Somatória dos RA :

Temos que a aceleração é de a= 25m/s².

Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado. Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

t =0s

s= 8,5(0) – 2(0) = 0

t= 1s

s= 8,5t² - 2t s= 8,5(1) – 2(1) = 6,5m

v`= 25(1) -2 v= 23m/s

t= 2s

s= 8,5(2) – 2(2) = 30m

v`= 25(2) -2 = 48m/s

t= 3s

s= 8,5(3) – 2(3) = 70,5m

v`= 25(3) -2 = 73m/s

t= 4s

s= 8,5(4) – 2(4) = 128m

v`= 25(4) -2 = 98m/s

t= 5s

s= 8,5(5) – 2(5) = 202,5m

v`= 25(5) -2 = 123m/s

Gráfico S(m) x t(s)

Gráfico V(m/s) x t(s)

A= ∆V / ∆tA= 123 –(-2) / 5-0 = 25m/s²

A área do gráfico representa a aceleração.

Passo 3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.

Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada