ATPS De Matematica Aplicada 3º Semestre

1. INTRODUÇÃO

Temos como desafio na elaboração deste relatório, a compreensão sobre o conceito de derivada e situações envolvendo a taxa de variação na matemática aplicada.

Para desenvolvimento deste aprendizado, utilizaremos a etapa 1 da ATPS da disciplina com a finalidade de exercitar o conhecimento com o conteúdo aprendido em aula, na pesquisa do livro texto e pesquisa de sites na internet.

Esperamos como resultado deste relatório, a melhor compreensão possível do conceito de derivada e da taxa de variação, para podermos aplicar no desenvolvimento e elaboração das demais tarefas propostas na ATPS, e no futuro utilizar esta aplicação nas áreas econômica, administrativa, contabilidade.

 

2. CONCEITO DE DERIVADA

2.1. CONCEITO DE DERIVADA E TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO

Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano.

Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

Figura 1- Exemplo gráfico de uma reta tangente a uma curva.

O conceito de derivada é uma representação da taxa de variação de uma função (f), sendo a taxa de variação a partir da equação da reta tangente à curva em um ponto, e seu significado numérico e interpretação gráfica.

Para um bom entendimento sobre derivadas necessitamos do conceito de taxa de variação média e também o de taxa de variação instantânea. São dois conceitos simples, importantes e fundamentais para o entendimento das derivadas. Abaixo descrevemos de forma resumida sobre eles :

2.1.1 Taxa de variação média : Dizemos que a taxa de variação média de uma função y = (x), no intervalo de a até b (x variando de a até b) é a razão definida por:

Vamos imaginar que o gráfico da função y = f(x) seja o representado abaixo. Marcaremos nesse gráfico os pontos do domínio a e b, com os respectivos valores da função (imagem) f(b) e f(a).

Figura 2- Interpretação gráfica da taxa de variação média no intervalo entre dois valores (a e b)

Observe que, quando a função é do tipo crescente, a taxa de variação média entre dois pontos será sempre positiva. Verifique também que, caso a função fosse decrescente entre esses pontos, a taxa de variação seria negativa.

2.1.2 Taxa de variação instantânea : A taxa de variação instantânea está relacionada com a noção de limites de uma função, e como poderíamos fazer para determinar a taxa de variação exatamente no instante t = 2 h. O que fazemos normalmente é aproximar os dois pontos (no caso instantes). Por exemplo, poderíamos considerar 2h00m e 2h30m ou 2h00m e 2h15m ou 2h00m e 2h01m ou ainda 2h00m e 2h00m05s. Matematicamente estamos determinando o limite da taxa de variação média, quando o intervalo (x) tende a zero.

Os modelos de taxa de variação apresentada acima são conceitos com grande aplicação nas mais variadas áreas do conhecimento, sendo importante também para administração, economia e contabilidade principais disciplinas do curso de administração.

2.2. APLICAÇÃO DA REGRA GERAL DE DERIVAÇÃO NA FUNÇÃO f(x)=7x

Desenvolvemos abaixo a derivada da função f(x) = 7x conforme a aplicação da regra geral de derivação :

f(x) = 7x

y = 7.x

y = 7

2.3. APLICAÇÃO DA TAXA DE VARIAÇÃO

A utilização da taxa de variação pelos gestores é de suma importância, para que se possa analisar o comportamento dos custos, receitas e a performance da produção de uma empresa. A análise da taxa de variação de uma função é importante para a tomada