ATPS MECANICA GERAL

Etapa 1

Exemplo 3.1

Uma esfera tem massa de 6 kg e está apoiada como mostrado. Desenhe o diagrama de corpo livre da esfera, da corda CE e do nó em C.

SOLUÇÃO

Esfera: Verifica-se que há apenas duas forças atuando sobre a esfera: seu peso e a força da corda CE. A esfera tem peso de 6 kg(9,81 m/s2). O diagrama de corpo livre é mostrado na figura 3.3b.

Corda CE: Quando a corda CE é isolada de seu entorno, seu diagrama de corpo livre mostra duas forças atuando sobre ela: a força da esfera e a força do nó (figura 3.3c). Observe que a FCE mostrada nessa figura é igual mas oposta à mostrada na figura 3.3b, em consequência da terceira lei de Newton. Além disso, FCE e FEC puxam a corda e a mantêm sob tensão, de modo que não se rompa. Para o equilíbrio, FCE = FEC.

Nó: O nó em C está sujeito a três forças (figura 3.3d). Elas são causadas pelas cordas CBA e CE e pela mola CD. Como solicitado, o diagrama de corpo livre mostra todas as forças identificadas por suas intensidades, direções e sentidos. É importante observar que o peso da esfera não atua diretamente sobre o nó; é a corda CE que submete o nó a essa força.

Exemplo 3.2

Determine a tensão nos cabos AB AD para o equilíbrio do motor de 250 kg mostrado na figura 3.6ª

SOLUÇÃO

Diagrama de corpo livre: Para resolver este problema, vamos investigar o equilíbrio do anel em A, porque esse ‘ponto material’ está submetido tanto à força do cabo AB quanto à do AD. Entretanto, veja que o motor tem um peso (250 kg)(9,82m/s2) = 2.452kN que é suportado pelo cabo CA. Portanto, como mostrado na figura 3.6b, há três forças concorrentes atuando sobre o anel. As forças TB e TD têm intensidades desconhecidas mas sentidos conhecidos, e o cabo AC exerce uma força descendente em A igual a 2.452kN.

Equações de Equilíbrio: As duas intensidades desconhecidas TB e TD são obtidas pelas duas equações escalares do equilíbrio, ∑Fx=0 e ∑Fy=0. Para aplicar essas equações, os eixos x, y são definidos no diagrama de corpo livre e TB deve ser desdobrada em seus componentes x, e y. Assim:

+ ∑Fx=0; TB cos 30º − TD = 0

+↑∑Fy=0; TB sen 30º − 2.452kN = 0

Resolvendo a Equação 2 em TB e fazendo a substituição na Equação 1 para obter TD:

TB = 4,90 kN Resposta

TD= 4,25 kN Resposta

A precisão desses resultados depende da precisão dos dados, isto é, medidas da geometria e cargas. Para a maioria dos trabalhos de engenharia que envolvem um problema como esse, os dados medidos com três dígitos significativos são suficientes. Além disso, observe que, nesse caso, foram desprezados os pesos dos cabos, hipótese razoável, visto que eles seriam pequenos em comparação com o peso do motor.

Exemplo 3.3

Se o saco da Figura 3.7ª tiver passo de 20 lb em A, determine o peso dele em B e a força necessária em cada corda para manter o sistema na posição de equilíbrio mostrada.

SOLUÇÃO

Como o peso de A é conhecido, a tensão desconhecida nas duas cordas EG e EC é determinada investigando-se o equilíbrio do anel em E. Por quê?

Diagrama de corpo livre: Há três forças atuando sobre o anel E, como mostrado na figura 3.7b.

Equações de Equilíbrio: Definindo os eixos x, y e decompondo cada força em seus componentes x, y pelo uso de trigonometria, temos:

+ ∑Fx=0; TEG sen 30º − TEC cos 45º = 0 (1)

+↑∑Fy=0; TEG cos 30º − TEC sen 45º − 20 lb = 0 (2)

Resolvendo a Equação 1 para TEG em função de TEC e inserindo o resultado na Equação 2 encontramos a solução para TEC. Obtemos então TEG da Equação 1. Os resultados são:

TEC = 38,6 lb Resposta

TEG= 54,6 lb Resposta

Usando-se o resultado obtido para TEC, o equilíbrio do anel em C é então investigado para determinar a tensão em CD e o peso de B.

Diagrama de corpo livre: Como mostrado na figura 3.7c, TEC = 38,6 lb ‘puxa’ C. A razão se torna clara quando se desenha o diagrama de corpo livre da corda CE e se aplica o equilíbrio e o princípio de ação e reação, igual mas oposto à força de reação ( terceira lei de Newton ) (figura 3.7d ).

Equação de Equilíbrio: Definindo-se os eixos x, y e observando-se que os componentes de TCD são proporcionais à inclinação da corda, como definido pelo triângulo 3-4-5, tem-se:

+ ∑Fx=0; 38,6 cos 45º lb −( 45)TCD = 0 (3)

+↑∑Fy=0; ( 35)TCD +38,6 sen 45º lb – WB = 0 (4)

Resolvendo-se a Equação 3 e inserindo-se o resultado na Equação 4, obtém-se:

TCD = 34,2 lb Resposta

TEG = 47,8 lb Resposta

Exemplo 3.4

Determine o comprimento da corda AC da figura 3.8ª, de modo que a luminária de 8 kg seja suspensa na posição mostrada. O comprimento não deformado da mola AB é lꞌ AB = 0,4 m e a mola tem rigidez kAB= 300 N/m.

SOLUÇÃO

Se a força na mola AB for conhecida, o alongamento da mola será determinado usando-se F=ks. É possível então calcular geometricamente o comprimento de AC.

Diagrama de corpo livre: A luminária tem peso W = 8(9,81) = 78,5 N. O diagrama de corpo livre do anel em A é mostrado na figura 3.8b.

Equações de Equilíbrio: Usando-se os eixos x, y:

+ ∑Fx=0; TAB −TAC cos 30º = 0

+↑∑Fy=0; TAC sen 30º −78,5 N = 0

Resolvendo,