ATPS - Matematica Aplicada 6° Serie

DESAFIO

A empresa Master Prime Games desenvolve jogos de RPG online. Recentemente, os proprietários desta empresa, criaram um grande jogo que ainda não havia sido divulgado para a equipe. Visando estimular a criatividade, o trabalho em equipe, o estudo de conceitos de álgebra linear importantes para o desenvolvimento de jogos, como por exemplo, criptografia e o raciocínio lógico, decidiram criar uma gincana interna, lançando o desafio: descubra o nome do jogo.

ETAPA 1

• Aula-tema: Matrizes – Tipos e Operações. Exercícios. Determinantes e Matrizes inversas.

PASSOS

Passo 1

Fazer as atividades apresentadas a seguir.

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos introdutórios de matrizes e determinantes. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Médio e Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de matrizes e determinantes.

2. Fazer um levantamento sobre a história do surgimento das matrizes e determinantes e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

3. Fazer o download do Software WINMAT (álgebra de matrizes). Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar a página: <http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_algebra.php>. Acesso em: 16 abr. 2012.

MATRIZES E DETERMINANTES

O início das matrizes e determinantes remontam ao século II a.C. embora alguns vestígios desse assunto foi encontrado no século VI a.C. Somente no final do século XVII que as ideias reapareceram e desenvolveram até os dias atuais.

Não é de estranhar que o início de matrizes e determinantes está intimamente relacionado com o estudo dos sistemas lineares. Os babilônios estudaram problemas que levam a resolução de um sistema linear de duas variáveis e duas equações, sendo que alguns destes problemas foram preservados em tabletas de argilas.

Os chineses, entre 200 A.C e 100 A.C chegaram muito mais perto de matrizes que os babilônios. Na verdade, é justo dizer que o texto Nove Capítulos da Arte Matemática escrito durante a dinastia Han dá o primeiro exemplo conhecido de métodos de matriz.

Girolamo Cardano, em Ars Magna (1545), dá uma regra para a solução de um sistema de duas equações lineares que ele chama de regulamentação de Modo. Esta regra dá o que é essencialmente a regra de Cramer para resolver sistemas lineares 2X2.

Muitos resultados da teoria padrão de matrizes elementares apareceram pela primeira vez muito antes das matrizes serem objetos de investigação matemática. Por exemplo, de Witt em seus Elementos de Curvas, publicado como parte dos comentários sobre a versão latina de 1660 da Geométria de Descartes, mostrou como uma transformação de eixos reduz uma equação dada para uma cônica a transforma na forma canônica. Isso equivale a diagonalização de uma matriz simétrica, mas de Witt nunca pensou nesses termos.

A ideia de um determinante apareceu no Japão e na Europa quase simultaneamente, embora o matemático Seki no Japão publicou suas ideias antes. Em 1683, Seki escreveu Método de Resolver os Problemas Dissimulados que contém métodos matriciais escritos como tabelas exatamente do jeito que os métodos chineses acima foram construídos.

Sem ter qualquer palavra que corresponda a "determinante" Seki ainda introduziu determinante e deu métodos gerais para o seu cálculo com base em exemplos. Usando seus "determinantes" Seki foi capaz de encontrar os determinantes de ordem 2, 3, 4 e 5 e aplicou-os na resolução de equações, mas não em sistemas de equações lineares.

Extraordinariamente, a primeira aparição de um determinante na Europa apareceu exatamente em 1683 com uma carta de Leibniz enviada ao marquês de L'Hôpital. Leibniz estava convencido de que uma boa notação matemática era a chave para o progresso da mesma. Em seus manuscritos inéditos, encontram-se mais de 5maneiras diferentes de notação de sistemas que ele trabalhou durante muitos anos.

Leibniz usou a palavra "resultante" para certas somas combinatórias de um determinante. Ele provou vários resultados sobre resultantes, incluindo o que é essencialmente a regra de Cramer. Ele também sabia que um determinante pode ser expandindo usando qualquer linha ou coluna - o que é agora chamado de método de Laplace.

Em 1730, Mclaurin escreveu seu Tratado de Álgebra, embora não foi publicado até 1748, dois anos após sua morte. Ele contém os primeiros resultados publicados sobre os determinantes provando a regra de Cramer para determinantes 2X2 e 3X3 e indicando como proceder para os determinantes 4X4.

Trabalhos sobre determinantes começaram a surgir regularmente. Em1764, Bézout apresentou os determinantes de Vandermonde. Em 1772, Laplace afirmou que os métodos introduzidos por Cramer e Bézout eram impraticáveis e, em um artigo onde ele estudou as órbitas dos planetas interiores, ele discutiu a solução de um sistema de equações lineares, sem realmente calculá-lo, usando determinantes. Surpreendemente Laplace usou a palavra "resultante" para o que hoje chamamos de determinante, o que é curioso, é que essa palavra é a mesma usada por Leibniz. Deste modo, Laplace deve ter tido conhecimento dos trabalhos de Leibniz sobre esse assunto.

Determinante foi o termo introduzido pela primeira vez por Gauss em Disquisitiones Arithmeticae (1801) ao discutir formas quadráticas. Ele usou o termo porque o determinante determina as propriedades da forma quadrática. No entanto, o conceito não é o mesmo que a de nosso determinante. No mesmo trabalho Gauss estabelece os coeficientes de suas formas quadráticas em matrizes retangulares. Ele descreve a multiplicação de matrizes (o que ele pensa em como composição que ele ainda não atingiu o conceito de álgebra matricial) e da inversa de uma matriz no contexto particular das matrizes de coeficientes de formas quadráticas.

O método de eliminação, que ele apareceu pela primeira vez no texto Nove Capítulos da Arte Matemática escrito em 200 a.c, foi usado por Gauss em seu