ATPS Matemática Aplicada 1ª Etapa

1ª ETAPA DO DESENVOLVIMENTO - CONCEITOS

Através da pesquisa em livros e sites apresentamos o Conceito de Derivadas, como ela deve ser Aplicada e quais são as suas regras.

Podemos afirmar que o conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Podemos afirma que o conceito de uma derivada em certo ponto pode ser definido como a taxa de variação de uma função, essas taxas são representadas por taxas de variação média e taxa de variação instantânea. Abaixo segue algumas aplicações das derivadas. Para que possamos entender o conceito de derivadas e suas aplicações precisamos estudar a taxa de variação analisando a taxa de variação media e taxa de variação instantânea: A taxa de variação media nos proporciona calcular variação entre um instante x em relação y; Já a taxa de variação instantânea nos proporciona calcular variação entre o instante x, a derivada está intimamente relacionada à taxa de variação instantânea de uma função.

A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo, a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. A derivada de uma função num ponto indica a taxa de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada fornece a inclinação instantânea de f(x) em cada ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções. A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade. Matematicamente estamos determinando o limite da taxa de variação média, quando o intervalo (Δ x) tende a zero.

Taxa de variação média:

Temos como exemplo em nosso dia a dia, a aplicação da taxa de variação média, um exemplo é em como podemos calcular o tempo gasto para chegar a faculdade ou até mesmo um função do custo de um produto em relação a quantidade produzida. O calculo de variação média pode ser dada pela razão:

M = Variação em C

Variação em Q

Onde M significa Taxa de variação Média, C o custo e é considerada variável dependente e Q significa a quantidade produzida e considerada variável independente.

Exemplo: C= 2q +9

Podemos observa que a dependente está antes da igualdade e a independente depois da igualdade.

A taxa de variação média não é voltada somente para função de 1º grau, pode ser usada para calculada qualquer função. Se C representa a variável dependente e Q a variável independente, então a taxa de variação média de C em relação a Y é calculada pela razão:

Taxa de variação média = Variação em C = ΔC

Variação em Q ΔQ

ΔC = Maior valor de C – Menor valor de C

ΔQ = Maior valor de Q – Menor valor de Q

A taxa de variação média sempre é calculada para intervalo da variável independente, sendo obtida pela divisão de duas grandezas que, na prática, têm unidades em medida então a taxa de variação média também tem unidade de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medida envolvidas.

Exemplo:

Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo de tempos das 03h00min horas até as 04h00min, onde tal produção é dada por P= x² onde P é dada em toneladas.

Para o intervalo 5 < x < 6, temos que:

M = f (6) – (5) P/x = 5P P/x = 6P

6-5 P= 5² → P=25 P=6² → 36

M=f (6) – (5) = 6² - 5² = 36-25 = 11 ton/h

6-5 1

Lembrando para que o resultado seja dado e ton/h depende do enunciado dá questão se foi dito em R$ o resultado seria em reais.

Taxa de variação Instantânea:

Podemos observa que até agora estudamos a variação da produção para intervalos de tempos, e o resultado obtido foi útil para analisar o comportamento da produção onde a produção varia em uma taxa