Apostila Matematica Financeira

13/06/13 Taxa Nominal, Efetiva e Equivalente - Matemática Financeira - Matemática Didática

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Exercícios resolvidos - Juros

Compostos e Prestações

Taxas Nominais, Efetivas e Equivalentes

Taxas Nominais

Você vai ao banco investir R$ 100.000,00 em uma aplicação financeira e o gerente lhe informa que para a

aplicação escolhida a taxa de juros anual é de 24% a.a., com capitalização composta mensal.

Então você terá uma aplicação no regime de capitalização composta, sendo que o acréscimo dos juros ao

montante será realizado mensalmente.

Note que o período de formação e acréscimo dos juros ao capital difere do período de tempo da taxa. Temos uma

taxa anual, mas os juros são calculados e acrescidos mês a mês. Nestas condições a taxa de juros é denominada

taxa nominal.

Sendo a taxa nominal de 24% a.a. e visto que a capitalização é mensal, qual

será a taxa de juros ao mês?

Como 1 ano tem 12 meses a taxa será de:

A taxa mensal referente a uma taxa nominal de 24% a.a. é de 2% a.m..

Estas duas taxas são ditas taxas proporcionais, pois utilizando meses como a unidade de tempo, temos a

seguinte proporção:

24% está para 12 meses, assim como 2% está 1 mês.

A taxa de 2% a.m. além de ser proporcional à taxa de 24% a.a., é denominada taxa efetiva mensal.

Taxas Efetivas

Segundo o dicionário efetiva significa real, verdadeira, que produz efeito. Isto quer dizer que para efeitos de

cálculo utilizamos a taxa efetiva, a taxa nominal não é utilizada para estes fins.

Para continuarmos este estudo, agora que sabemos que a taxa efetiva de juros é 2% a.m. e que o capital é de

R$ 100.000,00, vamos calcular qual será o novo capital após um ano de aplicação.

Vamos utilizar a seguinte fórmula para o cálculo do montante composto:

As variáveis conhecidas são as seguintes:

Substituindo tais variáveis por seus respectivos valores temos:

Como o capital é de R$ 100.000,00, os juros serão de R$ 26.824,18:

Então a taxa efetiva anual será de 26,82418% a.a.

Taxas Equivalentes

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A taxa efetiva mensal de 2% a.m. é equivalente à taxa efetiva anual de 26,82418% a.a., isto porque

produzem um montante igual, quando aplicadas a um mesmo capital, em um período de tempo de mesma duração.

Para verificarmos a equivalência vamos calcular Mm e Ma, referentes ao montante obtido a partir das taxas

efetivas mensal e anual, respectivamente, pelo período de um ano:

Observe que calculamos a taxa efetiva anual de 26,82418% a.a. com 5 casas decimais, apenas para que

pudéssemos comparar a equivalência das taxas, na prática podemos utilizar uma ou duas casas decimais como

26,82% a.a., por exemplo, neste caso o montante será ligeiramente menor (R$ 126.820,00).

Acima verificamos que os montantes Mm e Ma, calculados através da fórmula , são iguais.

Utilizando o índice m e a para identificar também as outras variáveis referentes ao cálculo dos montantes Mm e Ma,

respectivamente, generalizando podemos concluir que:

Veja que nesta fórmula obtemos a taxa efetiva mensal a partir da taxa efetiva anual:

Nesta outra fórmula obtemos a taxa efetiva anual a partir da taxa efetiva mensal:

Como podemos notar, ambas as fórmulas diferem entre si apenas nos índices das variáveis, então retirando o

índice das variáveis referentes à taxa que queremos obter e atribuindo o índice 0 às variáveis referentes à taxa

que possuímos, chegamos à seguinte fórmula:

Ou, se preferirmos eliminar o radical trabalhando apenas com uma potência, temos esta fórmula:

Exemplos de Cálculo para a Obtenção de Taxas Efetivas

Equivalentes

A taxa efetiva de 21% a.a. equivale a qual taxa efetiva mensal?

Um