Atividade Prática Supervisionada de Análise

Atividade Prática Supervisionada de Análise matemática 2

Aplicações para o ensino médio relacionadas ao conteúdo de derivadas

Leila de Souza Boeno

Simone Ribeiro da Silva

1. Introdução

Este trabalho exibe o estudo de questões que podem ser resolvidas tanto pelo método aprendido no Ensino Médio, como também com o conteúdo aprendido no ensino superior, neste caso o conceito de derivada.

O estudo do Cálculo Diferencial e Integral é considerado um dos conteúdos matemáticos mais influentes no desenvolvimento científico e tecnológico atual, esse conteúdo é muito abordado nos cursos superiores nas áreas de ciências da natureza, engenharias e tecnologias. Sua importância se dá por sua aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento.

Introduzir estes conceitos no ensino médio auxilia na compreensão de algumas propriedades, entre elas o limite de uma função, ferramenta indispensável para a compreensão de fenômenos físicos, como velocidade, força, etc.

2. Aplicações relacionadas ao conteúdo de derivadas

O conceito de derivadas e, demais conceitos relacionados a derivadas, tem aplicabilidade em diferentes áreas do conhecimento como na Matemática, na Física, na Biologia e na Economia, por exemplo. Neste sentido, apresentamos três aplicações, ou problemas, em que o conteúdo de derivadas está presente e justifica os resultados determinados.

2.1. Estudo sobre a velocidade do crescimento das bactérias.

Suponha que em uma cultura de bactérias a função que melhor descreve o crescimento do número de bactérias em função do tempo em minutos é . Com base nisso, como é possível determinar a velocidade do crescimento das bactérias em um dado instante ?[pic 3][pic 4]

Para expressar o quanto a população variou em um dado período de tempo calculamos a taxa de variação média da população no tempo  e após um tempo decorrido, denotado :[pic 5][pic 6]

[pic 7]

Consideraremos os valores do número de bactérias em dois tempos próximos e dividiremos pelo tempo decorrido entre uma observação e outra.

Entretanto o  é arbitrário. Mas quanto menor forem os intervalos de observação, mais preciso será a descrição do que ocorre no intervalo. Nesse sentido, iremos tornar o intervalo ∆t ser o menor possível, bem próximo de zero.[pic 8]

Mas se aproximarmos ∆t de zero,  tenderia também a zero, já que os tamanhos populacionais nos dois momentos seriam muito parecidos. Portanto o resultado dessa taxa deve ser .[pic 9][pic 10]

No entanto, com o auxílio do software Excel verificaremos o que acontece para a taxa de variação do crescimento populacional, quando consideramos  em intervalos cada vez menores. [pic 11]

Tabela 1: taxa de variação para  quando  torna-se próxima de zero.[pic 12][pic 13]

[pic 14]	[pic 15]	[pic 16]	[pic 17]	[pic 18]	[pic 19]
1	0,5	1,5	1	2,25	2,5
1	0,1	1,1	1	1,21	2,1
1	0,01	1,01	1	1,0201	2,01
1	0,001	1,001	1	1,002001	2,001
1	0,0001	1,0001	1	1,0002	2,0001
1	0,00001	1,00001	1	1,00002	2,00001
1	0,000001	1,000001	1	1,000002	2,000001

Pela tabela percebemos que quanto menor for a variação , no instante  a taxa de variação se aproxima do valor 2, isto é, a velocidade do crescimento das bactérias na cultura se aproxima de 2 bactérias por minuto.[pic 20][pic 21]

O mesmo processo pode ser realizado quando variamos o tempo  em intervalos cada vez menores.[pic 22]

Tabela 2: Taxa de variação para diferentes valores de  quando a variação  torna-se próxima de zero.[pic 23][pic 24]

[pic 25]	[pic 26]	[pic 27]	[pic 28]	[pic 29]	[pic 30]
2	0,1	2,1	4	4,41	4,1
2	0,01	2,01	4	4,0401	4,01
2	0,001	2,001	4	4,004001	4,001
2	0,0001	2,0001	4	4,0004	4,0001
2	0,00001	2,00001	4	4,00004	4,00001
3	0,1	3,1	9	9,61	6,1
3	0,01	3,01	9	9,0601	6,01
3	0,001	3,001	9	9,006001	6,001
3	0,0001	3,0001	9	9,0006	6,0001
3	0,00001	3,00001	9	9,00006	6,00001
4	0,1	4,1	16	16,81	8,1
4	0,01	4,01	16	16,0801	8,01
4	0,001	4,001	16	16,008	8,001
4	0,0001	4,0001	16	16,0008	8,0001
4	0,00001	4,00001	16	16,00008	8,00001

...