Atps Matematica Aplicada

INTRODUÇÃO

O trabalho irá abordar o tema função exponencial, logaritmos e suas derivadas, mostrando onde e como podem ser utilizadas.

Função exponencial e logaritmo

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 x

y = 3 x + 4

y = 0,5 x

y = 4 x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 –0,2*10

12 000 = v0 * 2 –2

12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log2x

f(x) = log3x

f(x) = log1/2x

f(x) = log10x

f(x) = log1/3x

f(x) = log4x

f(x) = log2(x – 1)

f(x) = log0,5x

Determinando o domínio da função logarítmica

Dada a função f(x) = log(x – 2) (4 – x), temos as seguintes restrições:

1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4

2) x – 2 > 0 → x > 2

3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3

Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.

Dessa forma, D = {x ? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}

Gráfico de uma função logarítmica

Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:

? a > 1

? 0 < a < 1

Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:

Função crescente

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:

Função decrescente

Características do gráfico da função logarítmica y = logax

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R.

Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir:

Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base.

Exercícios 1

Considerar que sua empresa precisou adquirir uma máquina de R$ 90.000,00 para aumentar o nível de produção e atender a demanda do produto produzido.

Sabendo que esta máquina terá uma depreciação de 16% ao ano, determine:

1. Uma função exponencial que determina o valor da máquina ao longo de x anos.

2. Qual será o valor da máquina ao final de 5 anos?

3. Daqui