CURSO DE GRADUAÇÃO EM LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

	UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DMAT CURSO DE GRADUAÇÃO EM LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
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PROJETO DE TRABALHO DE GRADUAÇÃO - TGR0002

Centro de Ciências Tecnológicas

Curso de Graduação em Licenciatura em Matemática

Grupo de Pesquisa: PEMSA

Linha de Pesquisa: Ensino Superior e Formação Docente

Título do Projeto: Fatorações matriciais e aplicações

Início

Fevereiro

2018

Término

Julho

2018

Acadêmico: Kemeli Müller Ristau

Telefone: (47) 3465-2393 / (47) 98817-4424

Endereço Eletrônico: [e-mail]

Professor Orientador: Rogério de Águiar

Telefone: (47) 99968-6208

Endereço Eletrônico: [e-mail]

Grande Área de Conhecimento: Ciências Humanas: 7.08.00.00-6 Educação

1. Resumo do Projeto:

O presente projeto tem por finalidade apresentar as fatorações matriciais e suas fundamentações teóricas. Tendo início com uma breve contextualização do tema para facilitar a compreensão do leitor a respeito de tópicos que serão fundamentais para a construção das diferentes formas de fatorações matriciais, partimos para os tópicos referentes aos modelos que serão explanados: Sistemas Triangulares, Diagonalização, Fatoração Cholesky, Fatorações LU, LDL, LDMT, LDU, QR, QR Condensada, Espectral, Decomposição a Valores Singulares, Forma de Jordan. Após o desenvolvimento das fatorações, apresentaremos algumas aplicações na resolução de problemas envolvendo sistemas lineares.  Também no decorrer do trabalho serão abordados os métodos de ortogonalização de Gram-Schmidt, Gram-Schmidt Modificado, as transformações de Householder, Givens, entre outros necessários a obtenção de certas fatorações matriciais. Como uma importante aplicação de fatoração matricial será estudado o Problema de Mínimos Quadrados.

2. Formulação do Problema:

Existem diversas fatorações matriciais que são úteis para determinadas classes de problemas que podem facilitar, dependendo do método utilizado, a análise de estabilidade de sistemas dinâmicos. Geralmente estas fatorações são utilizadas para simplificar a análise de sistemas, aperfeiçoar algoritmos computacionais ou para programar de maneira mais eficiente os algoritmos numéricos que envolvem operações com matrizes e vetores.

Em muitas aplicações práticas, onde se faz necessário o uso de cálculos matriciais, como no caso das resoluções de sistemas de equações diferenciais lineares, vale mais a pena realizar a conversão desses problemas em problemas mais fáceis por meio de uma fatoração matricial conveniente. Além disto, matrizes de dados representando alguma observação numérica são geralmente de grande dimensão e de difícil análise e, portanto, a fatoração destas matrizes em formas canônicas pode revelar suas características e estruturas inerentes, ajudando na interpretação de seus significados de maneira mais rápida.

Quando resolvemos um sistema de equação linear, raramente resolvemos o sistema que pretendemos resolver, em vez disso resolvemos um que o aproxima. Em um sistema , os coeficientes em  e  serão tipicamente conhecidos por algumas medições e, portanto, estarão sujeitos a erros de medição.[pic 2][pic 3][pic 4]

Assim, quando resolvemos um sistema linear , oriundo de uma aplicação prática a matriz  e o vetor  com o qual trabalhamos são ligeiramente diferentes dos verdadeiros  e . Aproximações adicionais são feitas quando os números são inseridos em um computador, pois as entradas reais ou complexas de  e  devem ser aproximadas por números com uma quantidade finita de algarismos na aritmética de ponto flutuante do computador. Porém, quando mudamos o sistema isso causa uma mudança na solução, podendo ela ser aceitável ou inaceitável. Em vista da ampla gama de aplicações das fatorações matriciais e dos tipos de fatorações existentes surge a questão da pesquisa: Quais as fatorações matriciais mais utilizadas nas áreas de engenharia e computação? [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

3. Objetivos

Geral:

Estudar as diferentes fatorações matriciais bem como algumas de suas aplicações.

Específicos:

• Resolver um problema de mínimos quadrados;
• Resolver alguns sistemas lineares utilizando fatorações matriciais;
• Explorar algumas aplicações de fatoração matricial.

4. Metodologia a ser utilizada:

A metodologia deste trabalho consiste em uma pesquisa bibliográfica, que segundo Gil (2008) é elaborada a partir de material já publicado, constituído principalmente de livros, artigos, de periódicos, e atualmente, material disponibilizado na internet. Utilizamos como bibliografia básica os livros: Álgebra Linear com Aplicações de Steven J. Leon (1943), Álgebra Linear de Elon Lages Lima (2008) e Fundamentals of Matrix Computations de David S. Watkins (2002). Para a seção de conteúdos preliminares utilizaremos como base o livro A Forma Canônica de Jordan de Jessica Neckel Cavalheiro (2015). Para a parte de aplicações serão efetuadas consultas na internet e utilizados os livros Álgebra Linear e Suas Aplicações de Gilbert Strang (2009) e Álgebra Linear com Aplicações de Steven J. Leon (1943) como base para as principais aplicações que são apresentadas no trabalho.