CURSO SUPERIOR DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA

CAMPUS BARREIRAS

CURSO SUPERIOR DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

ZACARIAS SILVA DE MATOS JÚNIOR

A Sequência de Fibonacci

Este resumo será apresentado para a avaliação da disciplina de Álgebra Elementar I do curso superior de Licenciatura de Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia, Campus Barreiras, orientado pela professora Emanuelle Romero.

BARREIRAS – BA

Maio de 2021

A Sequência de Fibonacci

A Sequência de Fibonacci é a sequência numérica proposta pelo matemático Leonardo Pisa, mais conhecido como Fibonacci. Essa sequência começa normalmente por 0 e 1, na qual, cada termo subsequente corresponde à soma dos dois anteriores. A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos, a partir desta sequência. Esta ssequência já era, no entanto, conhecida na antiguidade.

Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, · · ·

A sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo F1 = 1:

Fn = Fn−1 + Fn−2, e valores iniciais  F1 = 1, F2 = 1.

Contexto Histórico

No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci (1202) de Leonardo Fibonacci, embora ela já tivesse sido descrita por gregos e indianos.

Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos. Os números descrevem o número de casais na população de coelhos depois de n meses se for suposto que:

• no primeiro mês nasce apenas um casal;
• casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida;
• não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
• todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal; e os coelhos nunca morrem.

Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal que g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF (n) + bF (n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F (n) e F (n + 1) como base.

Em particular, a sequência de Fibonacci com F (1) = 1 e F (2) = 3 é conhecida como a sequência de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as n-ésimas potência.[pic 1]

Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmulas:[pic 2][pic 3]

pois é a solução de x2 = 1 + x e substituindo isso em L(n), obtemos a fórmula apenas em termos da raiz positiva:[pic 4]

[pic 5]

Com esta fórmula podemos montar a sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1, como mostra a figura abaixo:

[pic 6]

Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos.

Aplicações