Calculo E Geometria

1 TEMA

Investigação de aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.)

2 HISTÓRICO

As equações diferenciais começaram com o estudo do cálculo por Isaac

Newton e Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton atuou relativamente pouco

na área das equações diferenciais, mas o desenvolvimento do cálculo e elucidação

dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplicação das

equações diferenciais no século XVIII especialmente por Euler.

Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira

ordem dy/dx=f(x,y) no caso em que f(x,y) é um polinômio em x e y usando séries

infinitas.

Leinbniz foi um autodidata em matemática. Ele compreendia o poder de

uma boa notação matemática assim como o sinal de integral. Também descobriu o

método de separação das variáveis para as equações dy / dx = P(y) / Q(x). Em

1691, verificou a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o

procedimento para resolver equações lineares de primeira ordem.

Ao redor do início do século XVIII, a nova onda de pesquisadores de

equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas de

astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli, que foi o primeiro a palavra “integral”

no sentido moderno, estudou e escreveu equações diferenciais para o movimento

planetário, utilizando os princípios desenvolvidos por Newton. Halley utilizou os

mesmos princípios para calcular a trajetória de um cometa que hoje leva o seu

nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro

matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios da mecânica para

modelar matematicamente fenômenos físicos utilizando equações diferenciais e a

encontrar suas soluções. Entretanto, cinquenta anos de teoria geral trouxeram

significativos avanços, mas não uma teoria geral.

O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre

para consolidar e generalizar os métodos existentes. Muitas equações pareciam

amigáveis, mas se tornaram decepcionantemente difíceis. O maior matemático do

século XVIII, Leonhard Euler identificou a condição para que as equações de

primeira ordem sejam exatas. Euler entendeu o papel e as estruturas das funções,

estudou as propriedades e definições. Também foi o primeiro a entender as

propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e

muitas outras funções elementares. Em um artigo publicado em 1734, Euler

desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para as

equações de coeficientes constantes, tal como

Depois de Euler vieram vários especialistas que refinaram e entenderam

muitas das ideias das equações diferenciais baseadas nas ideias de Euler, utilizando

as equações em áreas como física matemática, mecânica, energia, sistemas

dinâmicos, astronomia etc. Porém o próximo avanço importante nesse assunto

ocorreu no início do século XIX com os pesquisadores Gauss e Cauchy, quando as

teorias e conceitos de funções variáveis complexas se desenvolveram. Gauss usou

as equações diferenciais para melhorar a teoria das órbitas planetárias e da

gravitação. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de

ondas sobre a superfície de um líquido.

As equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de

vários cursos de graduação de cálculo. Assim, é amplamente aceito que as

equações diferenciais são importantes para a matemática pura e aplicada.