Calculo Lll

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

ETAPA 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

PASSO 1

À primeira vista parece impossível que se possa definir a velocidade de uma partícula num certo instante. No instante t1 a partícula estará em um único ponto x1, logo podemos encontrar problemas de ordem “filosófica” quando afirmamos que um ponto material está com velocidade v no instante t1, pois quando pensamos num único instante a posição correspondente é um único ponto no espaço, então a partícula está parada? Por outro lado se a partícula não está em movimento, não deveria permanecer no mesmo ponto? Este é um paradoxo muito antigo, que pode ser resolvido quando se considera que, para observar um movimento, e portanto para defini-lo, devemos observar a posição do móvel em mais de que um certo instante. É então possível definir a velocidade num instante mediante um processo de passagem ao limite, onde Δt → 0. Em outras palavras, a velocidade instantânea é o limite da razão quando Δt tende a zero.

O limite citado acima é a derivada de x em relação a t, em física, podemos considerar para o cálculo da velocidade instantânea a seguinte fórmula:

Dessa forma podemos encontrar a velocidade instantânea utilizando as regras básicas de derivação, como a regra do “tombo”, porém em cálculo utilizamos a derivada de forma conceitual através do limite, conforme a fórmula:

Velocidade instantânea = ( ) ( )

em t = x

Podemos dizer que a função velocidade v (velocidade instantânea) dada por v = v0t + at (para o movimento uniformemente variado) foi obtida a partir da função s (espaço) através da derivada de S = s0 + v0t + a. , como podemos provar pelo método de derivada conceitual:

S = s0 + v0t + a.

Fazendo S = f(t) = s0 + v0t + a. , temos:

F’(t) = ( ) ( )

Logo,

s0 + v0 (t+h )+ a (t+h)2 - (s0 + v0t + a. )

s0 + v0t + v0h + a (t2 + 2th + h2) – s0 – v0t - a.t2

s0 + v0t + v0h + a. t2 + a. 2th + a.h2 – s0 – v0t - a.t2

v0h + a.2th + a.h2

h (v0 + a.2t + a.h)

v0 + a.t Função da velocidade

h

h

h

h

h

h tende a zero

v = v0 + a.t

Conforme proposto neste passo vamos calcular a velocidade instantânea, utilizando como aceleração o resultado da soma dos últimos dígitos dos RAs dos integrantes do grupo.

Integrante

Último dígito do RA

Anderson Inocente

3

André Silva Matos

4

Eliseu Aguiar

8

Floriano Leite de Sousa

9

Márcio Alves

9

Thais Tavares Amorim

1

Como exemplo, consideremos a seguinte função horária do espaço:

S = 50 - 15t +17

Derivando a função horária pelo método conceitual da derivada obteremos a equação da velocidade:

S = 50 - 15t +17

S = f(t) = 50 - 15t +17

f’(t) = ( ) – ( )

50 – 15 (t+h) + 17 (t+h)2 – (50 – 15t + 17t2)

50 -15t -15h + 17(t2 + 2th + h2) – 50 + 15t – 17t2

50 -15t -15h + 17t2 + 34th + 17h2 – 50 + 15t – 17t2

Somatória dos dígitos = 34

Aceleração = 34

h

h

h

-15h + 34th + 17h2

h (-15 + 34t + 17h)

Logo, a velocidade a partir da derivada da função horária é: