Calculo Lll

A contribuição dos matemáticos para o nascimento do cálculo são inúmeras, muitos deles usavam conceitos do cálculo para resolver vários problemas, como por exemplo Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler.

O desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas aconteceu em Maio de 1665, com Newton e Leibniz, que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e Integrais.

O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial, e outra relacionada às integrais ou Cálculo Integral.

Cálculo Integral

Os primeiros problemas que apareceram relacionados a integral foram os problemas de quadratura, “ termo antigo do processo de determinar áreas”, onde os gregos encontravam dificuldades em medir algumas superfícies para encontrar sua área, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser a figura plana mais simples, assim buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.

As figuras que fascinavam os geômetras eram as curvilíneas, como o círculo ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas “regiões que se assemelham com a lua em seu quarto crescente” foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a. C., que realizou as primeiras quadraturas da história. Antifon, por volta de 430 a.C, procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa sequência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constitui numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a .C. Trata-se de um teorema de Arquimedes.

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Esse cálculo pode ser encontrado no livro do Simmons, volume 2.

Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.

Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número 

A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente no final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados ao centro de gravidade.

Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas, um método que na prática, apresentava muita imprecisão. Para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Os próximos matemáticos que contribuíram para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mas conhecida, Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos indivisíveis. Ele mostrou, usando seus métodos, o que hoje dia escrevemos:

Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das chamadas parábolas maiores, curvas do tipo , onde K > 0 é constante e n= 2,3,4. Empregou