Coeficiente Linear

1) Escreva a equação geral da reta que passa no ponto P(3; 2) e é paralela à reta "S": 12x - 4y + 1 = 0.

Veja que: quando você tem uma reta que é paralela a uma outra, os seus coeficientes angulares (m) são idênticos (iguais).

No caso, vamos encontrar qual é o coeficiente angular da reta "S", que é esta:

12x - 4y + 1 --- para encontrar o coeficiente angular, você isola "y". E o coeficiente angular (m) será o coeficiente de "x", após havermos isolado "y". Assim, temos:

12x - 4y + 1 = 0 --- vamos isolar "y":

-4y = -12x - 1 --- vamos multiplicar ambos os membros por (-1), ficando:

4y = 12x + 1

y = (12x + 1)/4 --- dividindo cada fator por "4", temos:

y = 12x/4 + 1/4

y = 3x + 1/4 <--- Veja: o coeficiente angular (m) é igual a "3" (é o coeficiente de "x" após isolado "y").

Agora veja isto: quando você já dispõe do coeficiente angular (m) e de um ponto por uma reta passa (x1; y1), a sua equação é encontrada assim:

y - y1 = m*(x - x1).

Assim, tendo a fórmula acima como parâmetro, então vamos encontrar a equação da reta que tem coeficiente angular igual a "3" e passa no ponto P(3; 2). Aplicando a fórmula acima, temos:

y - 2 = 3*(x - 3)

y - 2 = 3*x - 3*3

y - 2 = 3x - 9 --- passando todo o 1º membro para o 2º, temos:

3x - 9 - y + 2 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, ficamos com:

3x - y - 7 = 0 <--- Esta é a equação GERAL da reta que é paralela à reta "S".

2) considere as retas de equação:

y = [6 - (a+1)x]/2; . (I)

e

x + ay + 2 = 0 . (II)

Pede-se os valores de "a" para que as duas retas acima sejam concorrentes.

Veja: para que duas retas sejam concorrentes, basta que o coeficiente angular (m1) de uma reta seja DIFERENTE do coeficiente angular (m2) da outra reta.

Então vamos calcular os dois coeficientes angulares das retas dadas:

i) y = [6 - (a+1)x]/2 --- vamos dividir cada fator por "2", ficando:

y = 6/2 - (a+1x)/2

y = 3 - (a+1)x/2 ---- agora vamos ordenar, ficando:

y = - (a+1)x/2 + 3 --- veja: o coeficiente angular é o coeficiente de "x", após isolado "y".

Assim, o coeficiente angular da reta acima é: -(a+1)/2 <-- É o coeficiente de "x" após isolado "y".

Assim, temos que:

m1 = -(a+1)/2

ii) x + ay + 2 = 0 --- vamos isolar "y":

ay = -x - 2

y = (-x - 2)/a --- vamos dividir cada fator por "a". Assim:

y = -x/a - 2/a <--- Veja: o coeficiente angular é (-1/a). É o coeficiente de "x", após isolado "y".

Assim, temos que:

m2 = -1/a

Agora vamos à condição para que as duas retas dadas sejam concorrentes. Como já vimos acima, basta que os dois coeficientes angulares encontrados acima sejam DIFERENTES. Assim, deveremos ter que:

m1 ≠ m2 ---- substituindo "m1" e "m2" por seus valores, temos:

-(a+1)/2 ≠ -1/a ----- multiplicando em cruz, temos:

-a*(a+1) ≠ 2*(-1) ---- efetuando as operações indicadas, temos:

-a² - a ≠ -2 --- multiplicando ambos os membros por (-1), ficamos com:

a² + a ≠ 2 ---- passando "2" para o 1º membro, temos:

a² + a - 2 ≠ 0

Agora veja: quem faz qualquer equação ser igual a zero são as suas raízes. Como a equação acima terá que ser DIFERENTE de zero, então "a" terá que ser diferente das raízes da equação.

Vamos ver quais são as raízes: aplicando Bhpaskara, você encontra as seguintes raízes:

a' = -2

a'' = 1

Assim, para que a equação acima seja DIFERENTE de zero, "a" deverá ser diferente de (-2) e de (1), ou seja: para que as duas retas sejam concorrentes, deveremos ter que:

a ≠ -2;

e

a ≠ 1

É isso aí.

1) Escreva a equação geral da reta que passa no ponto P(3; 2) e é paralela à reta "S": 12x - 4y + 1 = 0.

Veja que: quando você tem uma reta que é paralela a uma outra, os seus coeficientes angulares (m) são idênticos (iguais).

No caso, vamos encontrar qual é o coeficiente angular da reta "S", que é esta:

12x - 4y + 1 --- para encontrar o coeficiente angular, você isola "y". E o coeficiente angular (m) será o coeficiente de "x", após havermos isolado "y". Assim, temos:

12x - 4y + 1 = 0 --- vamos isolar "y":

-4y = -12x - 1 --- vamos multiplicar ambos os membros por (-1), ficando:

4y = 12x + 1

y = (12x + 1)/4 --- dividindo cada fator por "4", temos:

y = 12x/4 + 1/4

y