Composição e decomposição de alvos geométricos planos de estudantes

COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS POR ALUNOS DO ENSINO MÉDIO

João Batista de Andrade – Faculdades Integradas do Vale do Ribeira – [e-mail]

Ana Lúcia Manrique – PUC/SP – [e-mail]

Contexto da Pesquisa

A geometria está presente em nosso cotidiano nas formas das construções, dos objetos, nas inúmeras imagens com as quais nos deparamos diariamente. Diversos estudos têm sido desenvolvidos e apontam dificuldades tanto de alunos quanto de professores no entendimento de diferentes conteúdos da geometria. Dentre esses estudos, alguns já foram realizados tratando de tema cálculo de área. Eles direcionaram suas estratégias para o cálculo de área por meio do ladrilhamento, que consiste em quadricular a figura ou fazer uso do papel quadriculado, da composição, utilizando recorte da figura para compor uma outra, e da decomposição simples, processo que consiste em decompor a figura em outras. Em nosso estudo procuramos dar um enfoque diferente do abordado nessas pesquisas, trabalhando a área hachurada de determinadas figuras, compostas por duas ou mais figuras, por meio de sobreposições, buscando desenvolver a visão geométrica.

Temos como hipótese que os alunos apresentam dificuldades no reconhecimento de figuras geométricas planas e na identificação das expressões algébricas que possibilitem encontrar a área das respectivas figuras. Quanto à composição/decomposição de figuras planas, acreditamos que os alunos apresentam dificuldades em decompor corretamente uma figura composta de duas ou mais figuras geométricas planas para o cálculo da área solicitada; bem como em compor uma figura geométrica para facilitar o cálculo da área.

Propomos, então, duas questões:

1. Que dificuldades o aluno apresenta no cálculo de área de figuras planas?

2. Se o aluno sabe decompor uma figura em várias outras, será que ele consegue relacionar a figura principal com as da decomposição e a área total com as áreas das figuras da decomposição?

O trabalho desenvolvido por Chiummo (1998) traz à tona dificuldades apresentadas pelos professores no que diz respeito ao ensino da geometria, mais propriamente o ensino de áreas de figuras planas. A autora procura detectar como professores do Ensino Fundamental ensinam o conceito de área e perímetro de figuras planas. Aplicou testes em 33 alunos da 6ª série de um colégio municipal da cidade de São Paulo, buscando diagnosticar como os professores trabalhavam o conceito de área. Fez um estudo histórico e epistemológico sobre o conceito de área, com o objetivo de levantar a gênese e a evolução desse conceito, além dos obstáculos epistemológicos.

Chiummo (1998) conclui que alguns professores utilizam a técnica do ladrilhamento, outros desconhecem tal técnica, ensinando somente por meio de fórmulas. A pesquisa aponta também que a maioria dos professores pesquisados não explora a história do conceito de área, de onde veio e como surgiu. Detectou também que numa mesma série da mesma escola, professores utilizam métodos diferentes para ensinar seus alunos os conceitos de área e perímetro.

O trabalho desenvolvido por Facco (2003) também discute o cálculo de área e perímetro de figuras planas, bem como considera que os alunos não dominam os conceitos de geometria necessários para o cálculo de área de figuras planas, tais como triângulos, retângulos, losangos, paralelogramos, quadrados, entre outros. Essa autora testou técnicas de ladrilhamento, decomposição, composição e sobreposição simples para o cálculo de área de figuras planas, para facilitar o processo de aprendizagem dos alunos de uma 5ª. série de uma escola pública da cidade de São Paulo.

Em suas conclusões, a autora aponta que, nas “questões que exigiam melhor capacidade de apreensão operatória, decorrentes da necessidade de decomposição de figuras por meio de traços ou identificação de medida de área ou cálculo de área em figuras mais complexas, (...) o caminho de resolução dos problemas foi se tornando cada vez mais fácil para os alunos” (FACCO, 2003, p. 141). Atribui este sucesso à aplicação da seqüência de atividades de ensino que investiram na comparação de figuras por sobreposição para a identificação de área (igual ou diferente) que os levou à diferenciação de perímetro e área, ou seja, os alunos começaram a se familiarizar com a estratégia da compensação de partes, para visualizarem uma figura de fácil análise (quadrado, retângulo, triângulo retângulo).

Referencial teórico

A Matemática trabalha com objetos abstratos, ou seja, seus conceitos, suas propriedades, suas estruturas, suas relações não são palpáveis, necessitam, para sua apreensão, do uso de uma representação. Uma representação ocorre quando alguma coisa se coloca, para alguém, no lugar de outra coisa. Temos as representações por meio de símbolos, signos, códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos. Segundo Damm, “não existe conhecimento matemático que possa ser mobilizado por uma pessoa, sem o auxílio de uma representação.” (DAMM, 1999, p. 137). Logo, necessário se faz, no ensino da Matemática, considerarmos as diferentes representações de um mesmo objeto matemático, bem como a transição entre estas representações.

Utilizamos, em nosso estudo, as representações semióticas, pois somente elas realizam uma função de tratamento intencional, função esta fundamental para a aprendizagem humana.

Segundo Duval (1993 apud DAMM, 1999, p. 143), as representações semióticas “são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação os quais têm suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento.”

As representações semióticas têm dois aspectos: sua forma (o representante) e seu conteúdo (o representado). A forma muda de acordo com o sistema semiótico utilizado, uma vez que existem vários registros de representação para o mesmo objeto. Podemos ter ainda mudança na forma dentro de um mesmo registro de representação. Para que se dê a apreensão de um objeto matemático, necessário se faz que a conceitualização ocorra por meio de significativas representações. Logo, o trabalho com diferentes registros de representação semiótica (diferentes representações), bem como a transição entre estes registros, beneficiará a aprendizagem de um conceito matemático.

Uma representação semiótica pode sofrer diferentes transformações,