Cálculo Diferencial E Integral

Trabalho de Matemática

Introdução

O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo, é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. Para que fique mais claro, podemos dizer que o Cálculo é basicamente toda a álgebra e

geometria avançada. Em certo sentido, não é nem uma nova matéria – ele pega as regras

corriqueiras da álgebra e da geometria e as ajusta para que possam ser usadas em problemas mais complicados. Ele pega as regras básicas da matemática e aplica em problemas flexíveis e desdobráveis, podemos chamá-lo de “a matemática da mudança”.

O que torna o cálculo uma fantástica realização é que ele realmente amplia infinitamente. Na realidade, tudo que você faz em cálculo envolve o infinito de uma maneira ou de outra, porque se algo está constantemente mudando, esta frequentemente mudando infinitamente de cada infinitesimal momento até o próximo.

Na Idade Média podemos citar o matemático indiano Arybhata que usou a noção de infinitesimal em 499 d.C, expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica, e a partir desta noção, Bhäskara II no século XII desenvolveu uma derivada prematura representando uma mudança infinitesimal, e ele desenvolveu também o que seria a forma primitiva do “Teorema de Rolle”. Podemos destacar também Sharaf ALDin AL-Tusi e Madhava de Sangamagrama.

Na Idade Moderna, o Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos

matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668. Coube a Gottfried Wilhelm von Leibniz e a Isaac Newton recolher essas ideias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo.

Na Idade Contemporânea, já no século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa. Foi também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Podemos destacar

Lebesgue, Cauchy, Riemann, Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi.

As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Descartes, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.

Com o uso do cálculo, o estudo das variações e imperfeições foi possível, pois a

matemática básica é toda montada encima de uma grande linearidade, onde tudo é organizado e constante, porém essa matemática não conseguia se adequar ao nosso mundo, pois, o que neste planeta é linear e constante? Portanto, ferramentas tiveram que ser criadas para adequar este mundo imperfeito a uma situação de imperfeição, e é justamente isso que o cálculo faz.

Exemplo:

Vou agora colocar aqui um exemplo que é problemas da matemática regular, e outro que é do cálculo, os comparando, para que você possa entender um pouco melhor a “mágica”, que o cálculo proporcionou, e o quão importante ele é.

Para começar vamos analisar a figura a seguir:

Problema de matemática regular Problema de cálculo

Figura 1-1: A diferença entre matemática básica e cálculo: em uma só palavra, é a curva.

Veja a Figura 1-1. Na esquerda tem um homem empurrando uma caixa em uma rampa com inclinação em linha reta. Na direita, o homem está empurrando a mesma caixa em uma rampa com inclinação curva. O problema, em ambos os casos, é determinar a quantidade de energia necessária para empurrar a caixa até o topo. Você pode fazer o problema da esquerda usando matemática básica. Para o da direita, você precisa do cálculo (supondo que você não saiba os atalhos da física).

Para a rampa com inclinação em linha reta, o homem empurra com uma força constante, e a caixa sobre a rampa com uma velocidade constante. Com algumas fórmulas simples de física e da matemática básica (incluindo álgebra e geometria), você pode calcular quantas calorias de energia são necessárias para empurrar a caixa na rampa. Note que a quantidade de energia gasta em cada segundo continua a mesma.

Para a rampa com inclinação curva, por outro lado, as coisas estão mudando constantemente. A inclinação da rampa esta mudando – e não apenas em incrementos como, por exemplo, é uma inclinação para os primeiros 10 pés e depois uma inclinação diferente para os próximos 10 pés – está constantemente mudando. E o homem empurra com uma força que está constantemente mudando – quanto mais inclinada é a rampa, mais pesado fica empurrar a caixa. Como resultado, a quantidade de energia gasta também está mudando, não a cada segundo ou a cada milésimo de segundo, mas constantemente mudando de um momento para o outro. É isso que o faz ser um problema de cálculo.

Para o problema com inclinação curva, as fórmulas da física continuam as mesmas, e a álgebra e a trigonometria que você usa continua a mesma. A diferença é que – em contraste ao problema da rampa com inclinação reta, onde você de certa forma pode fazer num piscar de olhos – você tem que dividir o problema da inclinação curva em pedaços pequenos