DEPARTAMENTO PESSOAL

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Para obtenção do gráfico, conhecido como parábola, podemos observar os passos a seguir:

● O coeficiente a determina se a concavidade é voltada para cima ( a˃0) ou para baixo (a˂0).

● O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y e pode ser obtido fazendo x = 0.

Y = f (0) = a. 0² + b . 0 + c → y = c

●Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da função y = f (x) = ax² + bx + c,e, podem ser obtidas y = 0.

Y= 0 → ax² + bx + c = 0

Para a resolução dessa equação, utilizamos a fórmula de Báskara, em que:

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

E, em tal fórmula, fazendo o discriminante Δ = b² - 4 a c, podemosreescrevê-la como:

□((x= -b±√∆)/2a)

O número de raízes, ou pontos em que a parábola encontra o eixo x, depende do discriminante ; em resumo:

● Se Δ ˃ 0 , temos duas raízes reais distintas , xı=

□((x= -b±√∆)/2a)

x₂=

□((x= -b±√∆)/2a)

Graficamente, dois pontos em que a parábola corta o eixo x.

● Se Δ = 0, temos as duas raízes reais iguais.

●Se Δ ˂ 0 , não existem raízes reais ( graficamente, a parábola não cruza o eixo x) .

● O vértice da parábola é dado pela ponte v=(Xᵥ; Yᵥ)

Representados nos gráficos abaixo:

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Uma função exponencial é dada por:

Y= f(x) = b. aᵡ com a˃ 0 , a ≠1 e b≠0.

● O coeficiente b representa o valor da função quando x=0 e dá o ponto em que a curva corta o eixo y:

Y= f(0) = b. a° → y = b. 1 → y=b

Em situações práticas, é comum chamar o valor b de valor inicial. Esse coeficiente pode assumir valores positivos ou negativos, entretanto, consideramos em nossos estudos apenas valores positivos para b.

● Se temos a base a˃ 1, a função é crescente; se temos a base 0˂a ˂1, a função é decrescente, consideramos b˃0.

Para a determinação da Função Exponencial ou, em outras palavras, quais os passos a serem seguidos para obter os coeficientes a e b na relação y= b. aᵡ, existem três tipos de modelo á ser seguidos:

1º caso: identificando Evolução Exponencial - Quando são fornecidos dados relativos ás variáveis dependentes (y) período a período ( isto é, dia a dia, mês a mês, unidade a unidade etc.), devemos dividir a variável dependente do período anterior e comparar os resultados.

2º caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos – Um modo rápido de resolvê-lo é realizar a divisão de uma equação pela outra, cancelando o coeficiente b, o que permite encontrar a. Em seguida, substituído a em uma das equações, encontramos o coeficiente b.

3º caso: Função Exponencial a partir do Fator Multiplicativo – O fator multiplicativo, e em nossos exemplos a base da função exponencial, é obtido simplesmente pela soma de 1 á porcentagem de aumento escrita na forma decimal. Em caso de diminuição, subtrai-se do 1 a porcentagem de diminuição escrita na forma decimal.

Função exponencial decrescente, onde: 0˂a˂1

Função exponencial crescente, onde: a˃1

CONCEITOS DE DERIVADAS

A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta.

Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função. É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do coeficiente angular de uma reta usando limites.

À medida que ∆x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2. A situação, quando ∆x tende a zero.

Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado.

Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite:

À medida que ∆x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez