Decomposição De Um Polinômio Em Fatores De 1º Grau

Decomposição de um polinômio em fatores de 1º grau:

Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinômio é do 2º grau.

De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)= ax2 + bx + c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:

ax2 + bx + c = a(x - r1)(x - r2)

Exemplos:

1) Fatorar o polinômio P(x)=x2 - 4.

Resolução: Fazendo x2 – 4 = 0, obtemos as raízes r1 = 2 e r2 = -2.

Logo: x2 - 4 = (x - 2)(x + 2).

2) Fatorar o polinômio P(x) = x2 - 7x + 10.

Resolução: Fazendo x2 - 7x + 10 = 0, obtemos as raízes r1 = 5 e r2 = 2.

Logo: x2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.

Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3 - x2 - x.

Resolução:

2x3 - x2 - x = x(2x2 – x - 1) ⇨ colocando x em evidência

Fazendo x(2x2 – x - 1) = 0 obtemos: x = 0 ou 2x2 – x – 1 = 0.

Uma das raízes já encontramos (x = 0).

As outras duas saem da equação: 2x2 – x – 1 = 0 => r1 = 1 e r2 = -1/2.

Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é:

2.x(x-1)(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

anxn + an-1xn-1 + ... + a1x +a0 = an(x - r1)(x - r2)...(x - rn)

Observações:

1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.

2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.