EQUAÇÕES DIFERENCIAS DA PRIMEIRA ORDEM COMUM

INTRODUÇÃO

A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa, pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma varias aplicações, além de apresentar diversas ramificações.

Exemplo de Equações Diferenciais Ordinárias:

█(@dR(t) )/dt=-kR(t)

Equação do tempo de decaimento

de uma substancia radioativa

As Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza um processo, podem-se extrair informações sobre eles e prever o seu comportamento. A modelagem através de equações diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comportamento geral de vários tipos de sistemas.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS DE PRIMEIRA ORDEM

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Apresentamos a seguir a forma geral de uma equação diferencial de primeira ordem:

dy/dx=(X,Y)

Entre vários exemplos de aplicações de Equações ordinárias de primeira ordem analisaremos a seguinte:

Crescimento de tumores.

Tem sido observado experimentalmente que microorganismos que se reproduzem de forma a ocorrer a “sua duplicação” (“mitose”), como as bactérias, tem sua taxa de crescimento proporcional ao volume de células divididas em um dado momento. Denotando por V(t) o volume de células divididas no tempo t. Então:

dv/dt=lV

Para alguma constante positiva l. A solução é V(t)=V0e^l(t-t0)

Onde Vo é o volume de células divididas no tempo inicial to. Então o volume de células divididas cresce exponencialmente com o tempo, ou seja, V(t)→∞, quando t→∞, o que é impossível de ser mantido para sempre, temos, então, um modelo de natureza razoável que tem melhor aplicabilidade em intervalos delimitados de tempo.

Por outro lado, o crescimento de tumores sólidos não é exponencial em relação ao tempo. Através de pesquisas verificou-se que uma boa aproximação de V(t) que melhor se adéqua aos dados obtidos da análise de vários tumores sólidos e dada pela equação:

V(t)=V0 exp⁡(l/∝ (1-exp⁡(-∝t) ))

Onde exp⁡(x)=e^x l e ∝ são constantes positivas. A equação (10) é conhecida como uma relação de Gompertizian. A análise desta equação nos informa que o tumor cresce mais e mais lentamente com o passar do tempo e que o limite do volume de células divididas é aproximadamente: V0 .e^(l/∝).

Algumas aplicações:

Problemas de crescimento e decrescimento.

Seja N(t) a quantidade de alguma substancia ou população sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento. Admitamos que a taxa de variação da quantidade da substância é proporcional a quantidade da substancia presente. Então entre os instantes t e t+Δt da-se a variação seguinte da quantidade em questão:

N(t+ ∆t)=N(t)+kN(β)∆t

Onde k é a constante de proporcionalidade e β∈[t,t+∆t] é um instante de referencia. Fazendo Δt→0, obtemos então a equação :

dN/dt=kN

Problemas de diluição.

Sendo um tanque com uma quantidade V0 de solvente, e com A quilogramas de soluto. Despeja-se mais solução com B concentração do mesmo soluto a uma razão de E litros por minuto. Ao mesmo tempo a solução escoa do tanque a uma razão de F litros por minuto. O problema consiste em determinar a quantidade de soluto no tanque em um instante T. Sendo Q(t) a quantidade de soluto no tanque no instante t. Temos então:

Q(t+∆t)=Q(t)+ (Qentra (β)-Qsai