Equações Diferenciadas

m

dx d 2 x +y + kx = F0 cos(wt?) 2 dt dt

Numa região em que não há cargas elétricas o potencial elétrico u(x,y,z) em cada ponto (x,y,z) da região satisfaz a equação diferencial.

2u 2u 2u

= 0 x2 ay 2 z 2

Um circuito RC e um circuito que tem um resistor de resistência R, um capacitor de ?, capacitância C e um gerador que gera uma diferença de potencial V (t) ligados em serie. A carga ? descrita pela equação diferencial O (t) no capacitor e ,

1 dO + O = V (t) , dt C

Equações Diferenciais de 1a Ordem,

Quanto ao tipo uma equação diferencial pode ser ordinária ou parcial. Ela e ordinária se '' as funções incógnitas forem funções de somente uma variável. Portanto as derivadas que, ?? aparecem na equação são derivadas totais. Por exemplo, as equações que podem ser escritas ?? na forma

F (t,y,y,y,...) = 0

são equações diferencias ordinárias, como as equações dos exemplos 1,1 equação do Exemplo 1,3 e parcial quanto a ordem uma equação diferencial pode ser de 1a, de 2a,...

n-ésima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente

ay + by + cy = 0 ,

b

com a,b,c ? R tais que b2 – 4ac = 0

Vamos mostrar que y(t) = e – 2a t e solução desta equação

b b y (t) = - e- 2a t, 2a

b2 – b t y (t) = 2 e 2a 4a

Substituindo-se y (t),y (t) e y (t) no primeiro membro da euqção obtemos,

ay + by + cy = a

b b2 - b t b e 2a + b - e - 2a t 2 4a 2a 2 2 b b b - + c e - 2a t = 4a 2a – b2 + 4ac

- b t = e 2a = 0, 4a b + ce – 2a t b

As características tensão-correntes do capacitador e do indutor introduzem as equeções diferencias na análise dos circuitos elétricos. As leias de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos elementos conduzem, em conjunto, a uma equação diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal das variáveis correntes e tensão elétricas nos diversos componentes do circuito. De acordo com a ordem e as características da equação diferencial obtida, classificam-se os circuitos, e as respectivas soluções, de acordo com:

ORDEM DA EQUAÇÃO

Circuitos de 1ª ordem (Ex, RL, RC) Equação linear de 1ª ordem

Circuitos de 2ª ordem (Ex, RLC) Equação linear de 2ª ordem

TIPO DE SOLUÇÃO

Solução Natural Equação Diferenciais Lineares Homogêneas

Solução Forçada Equações Diferenciais Lineares não-Homogêneas

Exemplos de circuitos de 1º ordem:

Circuitos RL e RC Série:

Nesta prática foi analisado o comportamento de circuitos de 1º ordem, excitados por uma fonte de tensão continua,no estado transitório,ou seja,no intervalo de tempo a partir o instante em que o circuito é energizado até entrar em regime permanente. Vamos avaliar o comportamento da corrente e tensão nos circuitos indutivos e capacitivos, bem como avaliar o tempo de duração dc transitórios.

1 . Circuito RC