Equaçoes Diferenciadas
Trabalho Universitário: Equaçoes Diferenciadas. Pesquise 862.000+ trabalhos acadêmicosPor: dener • 13/9/2013 • 3.481 Palavras (14 Páginas) • 547 Visualizações
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:
MÉTODOS DE SÉRIES
MAURICIO A. VILCHES
Departamento de Análise - IME
UERJ
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Copyright by Mauricio A. Vilches
Todos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total
3
PREFÁCIO
Os pré-requisitos básicos deste livro podem ser visto em
[VC1], [VC2] e [NP]. Nestas notas abordaremos toda a
ementa das disciplinas Cálculo Diferencial e Integral IV
e Complementos de EDO oferecidas pelo Departamento
de Análise do IME-UERJ.
Desejo agradecer de forma muito especial a minha colega
professora Maria Luiza Corrêa pela leitura rigorosa
dos manuscritos, além dos inúmeros comentários e observações,
os quais permitiram dar clareza aos tópicos
estudados.
Mauricio A. Vilches
Rio de Janeiro
4
Conteúdo
1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES 9
1.1 Sequências Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Testes de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Sequências de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Séries de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Funções Analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO’S LINEARES 47
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Soluções em Torno de Pontos Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 A Equação de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Exemplos e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 MÉTODO DE FROBENIUS 73
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Soluções em Torno de Pontos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1 A Equação Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 A Edo de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4 Edo de Bessel de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.1 Primeira Solução: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.2 Segunda Solução: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6 Edo de Bessel de Ordem ν > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6.1 Primeira solução: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.2 Segunda Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 Exemplos e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
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6 CONTEÚDO
4 SÉRIES DE FOURIER 117
4.1 Funções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 Exemplo Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3 Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5 Linearidade dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.6 Extensão Par e Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.7 Séries dos Co-senos e dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.7.1 Séries dos Co-senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.7.2 Séries dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.8 Continuidade e Diferenciabilidade por Partes . . . . . . . . . . . . . 141
4.8.1 Continuidade por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.8.2 Diferenciabilidade por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.9 Convergências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.9.1 Convergência Pontual . . . . . . . . . . . . . . . .
...