Equaçoes Diferenciadas

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:

MÉTODOS DE SÉRIES

MAURICIO A. VILCHES

Departamento de Análise - IME

UERJ

2

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Todos os direitos reservados

Proibida a reprodução parcial ou total

3

PREFÁCIO

Os pré-requisitos básicos deste livro podem ser visto em

[VC1], [VC2] e [NP]. Nestas notas abordaremos toda a

ementa das disciplinas Cálculo Diferencial e Integral IV

e Complementos de EDO oferecidas pelo Departamento

de Análise do IME-UERJ.

Desejo agradecer de forma muito especial a minha colega

professora Maria Luiza Corrêa pela leitura rigorosa

dos manuscritos, além dos inúmeros comentários e observações,

os quais permitiram dar clareza aos tópicos

estudados.

Mauricio A. Vilches

Rio de Janeiro

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Conteúdo

1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES 9

1.1 Sequências Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Testes de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Sequências de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Séries de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6 Funções Analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO’S LINEARES 47

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Soluções em Torno de Pontos Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 A Equação de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3.1 Exemplos e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3 MÉTODO DE FROBENIUS 73

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Soluções em Torno de Pontos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.1 A Equação Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 A Edo de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4 Edo de Bessel de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4.1 Primeira Solução: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4.2 Segunda Solução: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.6 Edo de Bessel de Ordem ν > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.6.1 Primeira solução: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6.2 Segunda Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.7 Exemplos e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5

6 CONTEÚDO

4 SÉRIES DE FOURIER 117

4.1 Funções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2 Exemplo Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3 Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.5 Linearidade dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.6 Extensão Par e Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.7 Séries dos Co-senos e dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.7.1 Séries dos Co-senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.7.2 Séries dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.8 Continuidade e Diferenciabilidade por Partes . . . . . . . . . . . . . 141

4.8.1 Continuidade por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.8.2 Diferenciabilidade por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.9 Convergências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.9.1 Convergência Pontual . . . . . . . . . . . . . . . .