Função 2 Grau

O preço da garafa de vinho varia de acordo com a relação p = -2q + 400, onde "q" representa a quantidade de garrafas comercializadas. Sabendo que a receita R é dada pela relacao R = p . q e a funçao custo para a produção e comercialização das garrafas de vinho é dado por C(q) = 240q + 2400, determine:

a) a função lucro e o seu grafico indicando os principais pontos.

b) qual a quantidade de garrafas a ser comercializadas para que o lucro seja maximo e qual é este lucro?

c) para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo e é negativo?

Dados:

Preço unitário: p(q) = -2q + 400

Custo total: C(q) = 240q + 2400

Receita total: R(q) = p(q).q

Pede-se:

a) Função lucro L(q)

b) q e L(q) para L(q) máximo

c) Valores de q para os quais L(q) < 0 (prejuízo)

=== Solução ===

O lucro é a receita menos o custo:

L(q) = R(q) - C(q)

L(q) = p(q).q - (240q + 2400)

L(q) = (-2q + 400).q - 240q - 2400

L(q) = -2q² + 400q - 240q - 2400

L(q) = -2q² + 400q - 240q - 2400

L(q) = -2q² + 160q - 2400

L(0) = -2400

Portando, a função lucro é uma parábola (2400 é o custo fixo) com a concavidade voltada para baixo. Calculando as raízes (quando o lucro é nulo, ou seja, o custo iguala a receita), obtemos:

L(q) = 0

-2q² + 160q - 2400 = 0

q = (-160 ± √ (160² - 4.-2.-2400)) / -4

q = (-160 ± √ (25600 - 19200)) / -4

q = (-160 ± √ 6400) / -4

q = (-160 ± 80) / -4

q' = 60 e q" = 20

O lucro é máximo no ponto intermediário entre as raízes:

q(max) = (q'+ q")/2 = (60 + 20)/2 = 40

Uma outra forma de calcular o ponto de máximo é igualando a zero a primeira derivada da função lucro :

L(q) = -2q² + 160q - 2400

L'(q) = -4q + 160 = 0

-4q + 160 = 0

-4q = -160

q = 40

E esse lucro vale:

L(q) = -2q² + 160q - 2400

L(40) = -2.40² + 160.40 - 2400

L(40) = 800

O preço unitário é então:

p(q) = -2q + 400

p(40)