Função Quadratica

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RS

FACULDADE DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA A

Polígrafo 4 – Principais Funções

 Função Polinomial do 2º Grau

ADMINISTRAÇÃO

CIÊNCIAS CONTÁBEIS

ECONOMIA

PRINCIPAIS Funções

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Dados os números reais a e b, com a  0, chama-se função do 2º grau ou função quadrática a função , definida por y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c.

Exemplos

a) f(x) = x2 – 4x – 3 a = ____ b =____ c =____

b) y = x2 – 9 a = ____ b =____ c =____

c) g(x) = – 4x2 + 2x – 3 a = ____ b =____ c =____

d) h(x) = x2 + 7x a = ____ b =____ c =____

Exercício: Sendo f(x) = (m + 5)x2 + 2x – 4, determina m de modo que:

a) f(x) seja do 2º grau

b) f(x) seja do 1º grau

Gráfico da função quadrática

O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva denominada parábola. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é um subconjunto dos números reais. Ou seja, Dom f= e Im f  .

Exemplos

Constrói o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = x2 b) g(x) = – x2

Concavidade

O sinal de a (coeficiente de x2) determina a concavidade da parábola. Assim:

 Se a > 0 (a positivo), a concavidade é voltada para cima: 

 Se a < 0 (a negativo), a concavidade é voltada para baixo: 

Podemos verificar isto nos exemplos anteriores, onde f(x) tem concavidade voltada para cima, pois a = 1 e g(x) tem concavidade voltada para baixo, pois a = – 1.

Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau

Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representação gráfica, são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x.

Denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda equação da forma ax2 + bx + c = 0 , onde x é a variável e a, b, c com a 0.

Oservação: c é a ordenada do ponto (0, c), onde a parábola corta o eixo y.

Exemplos

a) 2x2 – 3x + 1 = 0 a = 2; b = -3; c = 1

b) x2 – 4 = 0 a = 1; b = 0; c = -4

c) y2 + 3y = 0 a = 1; b = 3; c = 0

d) 5x2 = 0 a = 5; b = 0; c = 0

Resolução de Equações do 2º Grau

Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução (ou conjunto verdade) dessa equação. Para a resolução das equações do 2º grau, utilizamos a Fórmula Resolutiva ou Fórmula de Báskara dada abaixo:

Se ax2 + bx + c = 0 e a  0, então

 Se a equação tem raízes reais

 Se a equação não tem raízes reais.

Exemplos: Dada a função f, calcular os zeros desta função.

a) f(x) = 2x2 – 3x + 1 b) h(x) = x2 – 4 c) g(x) = x2 + 3x

d) y = 5x2 e) g(x) = x2 – 5x + 7 f) y = x2 – 6x + 9

Vértice da Parábola

Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde

Assim:

ordenada do vértice

abscissa do vértice

Exemplos

1) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função

2) Determinar a e b de modo que o gráfico da função definida por y = ax2+bx-9 tenha o vértice no ponto (4,-25).

Exercícios

1) Dada a função f, calcula os zeros desta função e representa graficamente, sendo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2) Sendo calcula:

a) f(3) b)

3) Dadas