Física

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

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Exercícios de Equações algébricas - GABARITO

1) Seja P(x) = x4 - 5x³ + 9x² - 7x + 2. Determine com que multiplicidade o número 1 é raiz da equação P(x) = 0.

Solução. Para determinar esta multiplicidade, basta verificar o número de vezes que o polinômio se anula na divisão por (x – 1). Isto pode ser feito aplicando sucessivamente o algoritmo de Briot-Ruffini.

Como houve três restos nulos na divisão por (x – 1), o polinômio é divisível por (x – 1)3. Mas ainda há uma raiz. O último quociente da divisão exata é (x – 2), cuja raiz é 2. A decomposição do polinômio é: P(x) = (x – 1)3.(x – 2), onde x = 1 é raiz de multiplicidade 3.

2) (FATEC-SP) Seja i2 = -1. A equação x3 -5x2 + mx + n = 0 admite a raiz dupla (a+bi) e a raiz simples (-1+di) onde, a, b, d, m e n são números reais. Nessas condições, encontre o valor de (m+n).

Solução. Esta questão é conceitual. Repare que pelo teorema das raízes complexas, se uma raiz é complexa, então seu conjugado também o é. Logo, se (a + bi) é raiz, então (a – bi) também é raiz. Como ela é dupla, teríamos já quatro raízes: duas iguais a (a + bi) e duas iguais a (a – bi) o que seria absurdo, pois a equação é de grau 3. Logo, a parte imaginária deve ser nula. Isto é b = 0. Então há uma raiz dupla x = a.

Resta, portanto mais uma raiz. Se (– 1 + di) é raiz, então (– 1 – di) será raiz. Absurdo novamente, pois teríamos quatro raízes no total. Logo, d = 0. Então as raízes são: x = a (dupla) e x = -1 (simples). A soma das raízes pelas relações de Girard vale 5. Logo, (a + a – 1) = 5, implicando 2a = 6, resultando a = 3. Substituindo as raízes na equação e igualando a zero, temos:

.

A equação é, portanto x3 – 5x2 + 3x + 9 = 0. Verifique que:

i) A soma das raízes é S = 3 + 3 – 1= 5.

ii) Soma dos produtos das raízes duas a duas vale: (3).(-1) + (3).(-1) + (3).(3) = – 6 + 9 = 3.

iii) Produto das raízes é P = (3).(3).(-1) = – 9.

3) Encontrar as raízes das equações:

a) x4 -7x3 + 14x2 + 2x – 20 = 0 b) x5 - 2x4 +15x³ = 0

c) x4 + 2x³ -7x² - 8x + 12 = 0 d) x5 – 3x4 + 5x3 – 15x2 + 4x - 12=0

Solução. Vamos aplicar alguns dos resultados já estudados.

a) Esse caso implica em pesquisa de raízes. Os divisores de 20 são: . Não adianta testar x = 1, pois a soma dos coeficientes não é nula. Testando x = – 1, temos:

. Logo, x = - 1 é raiz. Testando x = 2, vem: . Logo, x = 2 é raiz.

Como temos duas raízes e a equação é de grau 4, aplicando Briot-Ruffini duas vezes, encontramos uma equação do 2º grau que temos uma fórmula de solução.

Temos:

Logo, o quociente é Q(x) = x2 – 6x + 10. Aplicando a fórmula da solução da equação do 2º grau, vem:

.

b) Colocando x3 em evidência, teremos uma equação do 2º grau.

.

OBS: Atenção ao fato que o grau da equação é 5. Há cinco raízes, sendo uma de multiplicidade 3.

c) A soma dos coeficientes de x4 + 2x³ -7x² - 8x + 12 = 0 é nula. Logo é divisível por (x – 1). Observando os divisores de 12, verificamos que x = 2 é raiz: . Aplicando Briot-Ruffini duas vezes termos a equação do 2º grau:

Logo, o quociente é Q(x) = x2 + 5x + 6. Aplicando a fórmula da solução da equação do 2º grau, vem:

.

d) Testando os divisores de 12 na equação x5 – 3x4 + 5x3 – 15x2 + 4x - 12=0, encontramos x = 3 como raiz:

. Como a verificação das raízes pode ser extensa, aplicamos Briot-Ruffini para observar qual é o quociente.

Logo, o quociente é Q(x) = x4 + 5x2 + 4. Uma equação biquadrada.

.

4) A equação 36x4 + 12x3 – 23x2 – 4x + 4 = 0 tem duas raízes duplas. Quais são elas? (Dica: Relações de Girard)

Solução. Considerando “s” e “t” as raízes, temos que a duplicidade informada conclui que a soma e o produto serão expressos por S = 2s + 2t e P = (st)2. Aplicando as relações de Girard, temos:

.

OBS: Esta opção está invalidada, pois a raiz seria complexa e a outra, seu conjugado. Como ela é dupla, ocorreriam mais duas, além da duplicidade da raiz x = s, ultrapassando o número quatro de raízes.

.

5) (EEM-SP) Dada a equação x³ - 9x² +26x + a = 0, determine o valor do coeficiente a para que as raízes dessa equação sejam números naturais sucessivos.

Solução. Considerando as raízes como (s, s + 1, s + 2) números sucessivos e aplicando as relações de Girard, temos: .

OBS: Repare que o valor de “a” poderia ser calculado encontrando o produto das raízes: P = – (2.3.4) = – 24.

6) Determine as raízes na equação x3 - 9x² +26x – 24 = 0, sabendo que elas estão em P.A?

Solução. A equação é de grau 3. Logo as raízes podem ser representadas por (x – r, x, x + r), pois estão em progressão aritmética com razão “r”. Aplicando as Relações de Girard, temos:

OBS: Outra forma de solução seria a partir de x = 3, aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini e encontrar a equação do 2º grau como quociente. Resolvendo pela fórmula encontraríamos as raízes x = 2 e x = 4.

Procure resolver da maneira que melhor se identificar.

7) Dada a