Geometria Espacial

2. (UERJ) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.

Em relação ao prisma, considere:

- cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120º;

- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.

Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m2 e que . Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a:

(A) 0,50 (B) 0,95 (C) 1,50 (D) 1,85

Solução. A Soma dos ângulos internos do pentágono vale 180.(5-2)=540º. A figura é decomposta em um trapézio isósceles e um triângulo equilátero.

i) x = 10.cos60º →x=5; Base maior = 20; Base menor = 10; h=10.sen60º = .

.

ii) Área do Triângulo equilátero: .

iii) Área da Base do prisma: .

iv) Área Lateral: .

v) Área total: .

Como cada metro quadrado custa 10 reais, o custo será de: .

3. (UERJ) Observe o dado ilustrado abaixo, formado a partir de um cubo, e com suas seis faces numeradas de 1 a 6.

Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo. Considerando  = 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e do raio de uma das semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a:

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10

Solução. Há no total (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 21 semiesferas. Considere R o raio da esfera e a, a aresta do cubo. Utilizando as fórmulas do volume da esfera e do cubo, temos:

.

4. (UERJ) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração. Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a:

a) b) c) d)

Solução. Considerando o volume v do cone fora do líquido e V o volume total do cone e, lembrando que a relação entre esses volumes é a razão cúbica de suas alturas, temos:

.