INTRODUÇÃO A TRIGONOMETRIA

INTRODUÇÃO A TRIGONOMETRIA

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0o e 180o, de modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180o.

Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos.

As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.

Um topógrafo precisa saber a que distância de uma estrada se encontra uma torre de alta tensão. Para isso, ele percorre um trecho retilíneo da estrada e faz medições indicadas na figura. Qual a distância aproximada da torre à estrada?

Resolução:

Vamos chamar de C o ponto onde se encontra a torre. O que desejamos encontrar é a altura desse triângulo, em relação ao lado AB. Antes disso, vamos calcular a medida de um dos lados AC ou BC para podermos trabalhar nos triângulos retângulos formados pela altura CH.

A medida do terceiro ângulo do triângulo ABC pode ser obtida assim:

m(Â) + m(^B) + (^C) = 180° ↔ 68° + 75° + m(^C) = 180° ↔ m(^C) = 37°.

A partir da lei dos senos temos:

BC/(sen Â) = AC/(sen ^B) = AB/(sen ^C) ↔ BC/(sen 68°) = AC/(sen 75°) = 300/(sen 37°)

Consultando a tabela trigonométrica temos:

sen 68° = 0,92718

sen 75° = 0,96593

sen 37° = 0,60189

Substituindo:

BC/0,92718 = AC/0,96593 = 300/0,60189

Obtemos BC ≅ 462 metros e AC ≅ 482 metros.

Para calcular CH, podemos usar um dos triângulos retângulos, por exemplo ∆ACH.

Nesse triângulo temos:

sen 68° = CH/AC ↔ CH = AC ∙ sen 68° ≅ 482 ∙ 0,92718 ≅ 447

Concluindo, a torre dista aproximadamente 447 metros da estrada.

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS COM O CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições:

Se α = 0, P coincide com A.

Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.

Se α < 0, o sentido do círculo será horário.

O comprimento do arco AP será o módulo de α.

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem.

Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a determinação principal de arcos trigonométricos:

1) O círculo trigonométrico abaixo está dividido em 8 partes iguais. Indique os números que estão representados a cada um dos pontos.

Considere o intervalo [0,2π[.

Resolução:

O ponto A corresponde a 0.

Como o círculo trigonométrico foi dividido em 8 partes iguais, o ponto B corresponde a π/4 , pois 2π ÷ 8 = π/4. Do ponto C em diante, basta somar π/4. Vamos organizar os dados em tabela:

A 0

B π/4

C 2π/4 ou π/2

D 3π/4

E 4π/4 ou π

F 5π/4

G 6π/4 ou 3π/2

H 7π/4

Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.

Resolução:

Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande). O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista de um arco que mede 30º.

Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a

120° → (2π rad)/3 e o maior corresponde a 240° → (4π rad)/3 .

Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min?

Resolução:

Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na linha pontilhada. Mas às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”. Aplicando a regra de três descobrimos quantos graus ele se afastou da direção do número 9 em 30 minutos.