Integral Definida

ETAPA 1 - Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

PASSO 1

História do Cálculo

O desenvolvimento do cálculo até os dias atuais, quando o Cálculo Diferencial e Integral é uma ferramenta indispensável como base para o desenvolvimento das tecnologias de informática, engenharia civil, matemática dentre outros, retrata a importância de cada teórico matemático da antiguidade. O desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz, que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.

Os três pilares básicos do Cálculo, foram: Construção de Quadraturas, Método de Exaustão e o Teorema Fundamental do Cálculo.

O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas, ou Cálculo Diferencial, e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral, que é o objetivo de nossa pesquisa.

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura (termo antigo sinônimo de processo para determinar áreas). Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.

As quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas, regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos, quadrado, octógono e hexadecágono, e assim por diante, no entanto essa sequência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão.

Nesse contexto, surgiu uma das contribuições grega mais importantes para o Cálculo, por volta do ano 225 a.C, o teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Tal Teorema descrevia que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base e assim Arquimedes conseguiu provar o método da exaustão, a soma infinita, sendo este o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.

Outra contribuição o Cálculo Integral, apareceu ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, Luca Valério publicou “De Quadratura Parabolae” onde utilizou o método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.

Kepler, ao estudar o movimento dos planetas, buscava encontrar as áreas de figuras elípticas e seu método consistia na soma de linhas, porém esse método era impreciso. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Fermat e Cavalieri, também contribuíram para o nascimento do Cálculo Integral, como registrado em uma de suas obra, “Geometria indivisibilibus continuorum nova”, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos:

.

Wallis arimetizou a processo geométrico de Cavalieri, com princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gama.

Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área “parábolas maiores": curvas do tipo , onde é constante e n= 1,2,3,4, etc. Empregou então uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo , onde e n2,3,4,etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.

Newton estudou o movimento dos corpos e desenvolveu este cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz, com os métodos das fluxions - derivação - e fluents - integração - e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.

Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, parecida a maneira de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ".

Ambos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente, entretanto Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico.

Em decorrência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram vistas como derivadas "reversas". Contemporâneo a Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas ideias foram resumidas por Leonard Euler.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

 

Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫( a³ + 3 +3 ) da?

3 a³ a

a-) F(a) = 12a⁴ - 3a¯² + ln │3a│+ c

2

b-) F(a)= a⁴ - 3 + 3ln │a│+ c

12 2a²

c-)