Intervalo De Confiança

Na Noruega, a distribuição dos pesos ao nascer cuja idade gestacional é 40 semanas é aproximadamente normal com média  = 3500 gramas e desvio padrão  = 430 gramas.

X = distribuição dos pesos ao nascer cuja idade gestacional é 40 semanas

X ~ N(µ = 3500 gramas; σ = 430 gramas)

a) Tomando-se um recém-nascido cuja idade gestacional seja 40 semanas, qual é a probabilidade de que seu peso ao nascer seja menor do que 2500 gramas?

P(X<2500)=P((X-μ)/σ<(2500-3500)/430)=P(Z<-2,33)=0,0099=1%

b) Que valor limita os 5% inferiores da distribuição de pesos ao nascer?

P(Z<z)=0,05→z=-1,64

Z=(X-μ)/σ→1,64=(X-3500)/430→X-3500=1,64×430→X=2794,8

c) Que valor limita os 5% inferiores da distribuição das médias de amostras de tamanho 5?

P(Z<z)=0,05→z=-1,64

Z=(¯X-μ)/(σ/√n)→1,64=(X-3500)/(430/√5)→¯X-3500=1,64×430/√5→¯X=3184,6

d) Dada uma amostra de cinco recém-nascidos com idade gestacional de 40 semanas, qual é a probabilidade de que sua média de peso ao nascer seja menor do que 2500 gramas?

P(X<2500)=P((X-μ)/(σ/√n)<(2500-3500)/(430/√n))=P(Z<-5,20)<0,0001

Exercício 2:

Por analogia a produtos similares, o tempo de reação de um novo medicamento pode ser considerado como tendo distribuição Normal com desvio padrão igual a 2 minutos (a média é desconhecida). Vinte pacientes foram sorteados, receberam o medicamento e tiveram seu tempo de reação anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos): 2,9; 3,4; 3,5; 4,1; 4,6; 4,7; 4,5; 3,8; 5,3; 4,9; 4,8; 5,7; 5,8; 5,0; 3,4; 5,9; 6,3; 4,6; 5,5 e 6,2. Obtenha um intervalo de confiança para o tempo médio de reação. Use  = 4%.

X = tempo de reação de um novo medicamento

X ~ N(μ ; σ = 2 min)

n = 20; α = 4%; Z0,02 = 2,05

¯X=(∑▒X_i )/n=█(2,9+3,4+3,5+4,1+ 4,6+4,7+4,5+3,8+5,3+4,9+@4,8+5,7+5,8+5,0+3,4+5,9+6,3+4,6+5,5+6,2)/20=94,9/20=4,745

IC(μ;96%)=(¯X±Z_0,02×σ/√n)=(4,745±2,05×2/√20)=(4,745±0,917)=(3,828; 5,828)

Interpretação: Estamos 96% confiantes de que os limites 3,828 e 5,662 contêm a verdadeira média populacional (tempo médio de reação de um novo medicamento).

Exercício 3:

Para a população de bebês submetidos a cirurgia fetal para anomalias congênitas, a distribuição das idades gestacionais ao nascer é aproximadamente normal com média  e desvio padrão  desconhecidos. Uma amostra aleatória de 14 desses bebês tem uma idade gestacional média de = 29,6 semanas e desvio padrão s = 3,6 semanas.

a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média  da população.

O desvio padrão σ é desconhecido ⇒ Usar a distribuição t de Student

n = 14; α = 5%; x = 29,6

IC(μ;95%)=(¯X±t_(0,025;n-1)×S/√n)=(29,6±2,160×3,6/√14)=(29,6±2,078)=(27,5;31,7)

Interpretação: Estamos 95% confiantes de que os limites 27,5 e 31,7 contêm a verdadeira média populacional (idade gestacional (em semanas) de bebês submetidos à cirurgia fetal para anomalias congênitas.

b) Qual é o comprimento deste intervalo?

Comprimento = 31,7 – 27,5 = 4,2 semanas

Exercício 4:

Nos Países Baixos, os homens saudáveis entre 65 e 79 anos têm uma distribuição de níveis séricos de ácido úrico aproximadamente normal com média  = 341 mol/l e desvio padrão  = 79 mol/l.

X = distribuição de níveis séricos de ácido úrico para homens saudáveis entre 65 e 79 anos

X ~ N(μ = 341 μmol/l; σ = 79 μmol/l)

a. Que proporção de homens tem nível sérico de ácido úrico entre 300 e 400 mol/l?

P(300 < X < 400) = P(X <400) + P(X > 300)

P(X<400)=P((X-μ)/σ<(400-341)/79)=P(Z<0,75)=0,2734

P(X>300)=P((X-μ)/σ>(300-341)/79)=P(Z>-0,52)=0,1935

P(300 < X < 400) = P(X <400) – P(X > 300) = 0,2734 + 0,1935 = 0,4719

b. Que proporção de amostras de tamanho 5 tem nível médio sérico de ácido úrico entre 300 e 400 mol/l?

P(300 < ¯X < 400) = P(¯X <400) + P(¯X > 300)

P(X<400)=P((X-μ)/(σ/√n)<(400-341)/(79/√5))=P(Z<1,67)=0,4525

P(X>300)=P((X-μ)/(σ/√n)>(400-341)/(79/√5))=P(Z>-1,16)=0,3770

P(300 < ¯X < 400) = P(¯X <400) + P(¯X > 300) = 0,4525 + 0,3770 = 0,8295

c. Que proporção de amostras de tamanho 10 tem nível médio sérico de ácido úrico entre 300 e 400 mol/l?

P(300 < ¯X < 400) = P(¯X <400) + P(¯X > 300)

P(X<400)=P((X-μ)/(σ/√n)<(400-341)/(79/√10))=P(Z<2,36)=0,4909

P(X<300)=P((X-μ)/(σ/√n)<(400-341)/(79/√10))=P(Z<-1,64)=0,4495

P(300 < ¯X < 400) = P(¯X <400) + P(¯X > 300) = 0,4909 + 0,4495 = 0,9404

d. Construa um intervalo de confiança de 95% das médias de amostras de tamanho 10.

n = 10; α = 5%; x = 341

IC(μ;95%)=(¯X±Z_0,025×σ/√n)=(341±1,96×79/√10)=(341±48,96×)=(292,04;389,96)

Exercício 5

De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas.

N = 400

¯X=800

σ=400