LEI DE BENFORD

LEI DE BENFORD

INTRODUÇÃO

Lei de Benford também conhecida como “Primeira Lei dos Dígitos”, “Primeiro Fenômeno do Dígito” ou “Fenômeno Principal do Dígito”, é uma ferramenta poderosa e relativamente simples para apontar a suspeita de fraudes, fraudadores, sonegação de impostos, contabilistas medíocres e erros de digitação.

A maioria das pessoas supõem que em uma amostra de números aleatórios de alguma fonte de dados, o primeiro dígito não-zero poderia ser todo número de 1 a 9 e todos os nove seriam considerados igualmente prováveis.

Em 1881, um astrônomo americano, Sr. Simon Newcomb, observou primeiramente o fenômeno das primeiras páginas dos livros logarítmicos, que começavam com o número 1 e se encontravam mais sujas e gastas que as demais. No mesmo ano em um breve artigo no jornal americano de matemática, Newcomb afirmou que a ocorrência de dígitos segue um distribuição particular da probabilidade.

Mas o Dr. Frank Benford, físico, em 1938, após uma investigação detalhada chegou à mesma fórmula do Sr. Newcomb, indo mais além aplicando a fórmula em uma variedade de números para detectar o fenômeno da ocorrência dos dígitos.

Podemos dizer que o Sr. Newcomb foi o primeiro a verificar esta anomalia, entretanto foi o Dr. Benford quem decidiu se aprofundar e aplicar sua descoberta em dados reais.

Benford achava improvável que os físicos e coordenadores tivessem uma preferência especial para os logaritmos que começavam com o número 1.

Portanto, a partir desta observação Benford, deu início à sua pesquisa utilizando-se de 20229 jogos de números de diversas fontes, como por exemplo a população, dados de custos, liga americana, taxa de morte, entre outros, como visualiza a tabela 02.

Nas listas ou tabelas dos estatísticos o dígito 1 tende a ocorrer aproximadamente 30% da probabilidade, muito mais grande do que os 10% previstos, entretanto o Dr. Benford descobriu, em uma variedade enorme de seqüências de números, que isso não é exatamente assim.

Todos esses jogos seguiram um teste padrão, e em todos os casos o número 1 girou acima como o primeiro dígito aproximadamente 30% mais freqüentemente que qualquer outro.

Tendo em vista uma séria aleatória de números selecionados, verificaremos que se os números investigados não forem relacionados de algum modo social ou natural, a distribuição do primeiro dígito não é uniforme, a “Lei de Benford”, não apresenta o resultado esperado nos dados.

O dígito “d” aparece como o primeiro dígito com a freqüência proporcional ao registro 10 (1 + 1/d). Sendo o número 1 numa fonte aleatória, o primeiro dígito será de aproximadamente 30% dos casos, já o número 2 virá acima aproximadamente em 18% dos casos, 3 em 12%, 4 em 9%, 5 em 8% ... e 9 em 4,5%. Esta fórmula prediz as freqüências dos números encontrados em muitas categorias estatísticas. Como pode-se verificar na tabela 01.

Tabela 01:-

D

Probabilidade

1 0,30103

2 0,176091

3 0,124939

4 0,09691

5 0,0791812

6 0,0669468

7 0,0579919

8 0,0511525

9 0,0457575

Tabela 02:-

Primeiro Dígito

Coluna Título 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Amostras

A Rios, Área 31,0 16,4 10,7 11,3 7,2 8,6 5,5 4,2 5,1 335

B População 33,9 20,4 14,2 8,1 7,2 6,2 4,1 3,7 2,2 3259

C Constantes 41,3 14,4 4,8 8,6 10,6 5,8 1,0 2,9 10,6 104

D Jornais 30,0 18,0 12,0 10,0 8,0 6,0 6,0 5,0 5,0 100

E Calor Específico 24,0 18,4 16,2 14,6 10,6 4,1 3,2 4,8 4,1 1389

F Pressão 29,6 18,3 12,8 9,8 8,3 6,4 5,7 4,4 4,7 703

G Cavalo-força. Perdido 30,0 18,4 11,9 10,8 8,1 7,0 5,1 5,1 3,6 690

H Mol. Wgt. 26,7 25,2 15,4 10,8 6,7 5,1 4,1 2,8 3,2 1800

I Drenagem 27,1 23,9 13,8 12,6 8,2 5,0 5,0 2,5 1,9 159

J Wgt Atômico. 47,2 18,7 5,5 4,4 6,6 4,4 3,3 4,4 5,5 91

K n -1 ,

25,7 20,3 9,7 6,8 6,6 6,8 7,2 8,0 8,9 5000

L Projeto 26,8 14,8 14,3 7,5 8,3 8,4 7,0 7,3 5,6 560

M Sumário Do Leitor 33,4 18,5 12,4 7,5 7,1 6,5 5,5 4,9 4,2 308

N Dados De Custo 32,4 18,8 10,1 10,1 9,8 5,5 4,7 5,5 3,1 741

O Volts Do Raio X 27,9 17,5 14,4 9,0 8,1 7,4 5,1 5,8 4,8 707

P Am. Liga 32,7 17,6 12,6 9,8 7,4 6,4 4,9 5,6 3,0 1458

Q Blackbody 31,0 17,3 14,1 8,7 6,6 7,0 5,2 4,7 5,4 1165

R Endereços 28,9 19,2 12,6 8,8 8,5 6,4 5,6 5,0 5,0 342

S n 1 ,

25,3 16,0 12,0 10,0 8,5 8,8 6,8 7,1 5,5 900

T Taxa De Morte 27,0 18,6 15,7 9,4 6,7 6,5 7,2 4,8 4,1 418

Média 30,6 18,5 12,4 9,4 8,0 6,4 5,1 4,9 4,7 1011

Desde os anos quarenta, mais de 150 documentos acadêmicos na lei de Benford foram publicados por matemáticos, estatísticos e recentemente por contadores. Até o presente momento não houve ninguém que se aventurasse a duvidar, inventar e provar que existe outra fórmula analisar os dígitos.

O Sr. Mark Nigrini da Universidade do Sul de Methodist,