MATEMATICA APLICADA

Etapa 2

passo 1

Texto informativo: “Descoberta da Matemática x Logaritmos”

De acordo com a pesquisa realizada os logaritmos foram inventados por John Napier, de modo a simplificar os processos de multiplicação, soma e divisão. A descoberta dos logaritmos surgiu da necessidade de simplificar os cálculos que eram muito trabalhosos na época, principalmente na área da astronomia.

Napier começou a tentar manter os termos da progressão geométrica e após 20 anos de trabalho publicou um livro “Logarithmorum Canonis Descriptio”, Que explicava como se utilizam os logaritmos. Ele explica a natureza dos logaritmos, e desenvolve uma tábua de logaritmos dos senos de 0º a 90º. A razão de aplicar sua ideia à trigonometria é que essa tábua tinha o objetivo de facilitar os longos e penosos cálculos que navegadores e astrônomos enfrentavam. Usando logaritmos, notou-se que os cálculos poderiam ser efetuados duas vezes mais rápidos. O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs. Apesar de Napier ser considerado o inventor dos logaritmos, outros matemáticos da época também trabalharam com ele.

Napier costumava trabalhar com uma progressão geométrica, onde o primeiro termos era 107.b e a razão b, Jobst Burgi também lidava com o problema dos logaritmos, e empregou uma razão um pouco maior do que 1. O mesmo, também fez grandes melhorias na história do logaritmo. Briggs percebeu que a base que Napier utilizava era inconveniente, e sugeriu que fizesse uma mudança para uma base decimal.

Napier junto com Brigge elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos comuns, ou seja, os logaritmos dos dias.

A ideia de logaritmo é simples, e pode-se dizer que logaritmo é uma nova denominação para expoente. Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16, onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2. Essa operação facilitou o trabalho em navegação na orientação no mar, em operações bancárias como, por exemplo, empréstimos, em engenharia nas construções, e também nas ciências que estavam nascendo.

Passo 2

1. (UERJ) Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:

Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior;

Nas 8 – t horas restantes diminuem 10% em relação ao número de frutas da hora anterior.

Calcular:

a. O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t=2;

N(t) = N(0) x (FM1)t

N(2) = N(0)x (0,8)2

N(2) = O,64

R: O numero de frutas que resta no final nas duas primeiras horas é de 64%.

b. O valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das frutas que havia, inicialmente. Considere log2 = 0,30 e log3 = 0,48

Qi x (0,8)t x (0,9)8-t = 0,32 Qi ; os Qi se cancelaram QI( Quantidade inicial de frutas)

log [(0,8)t x (0,9)8-t] = log 0,32

log (0,8)t + log (0,9)8-t = log 32

100

t log (0,8) + (8-t) x log (0,9) = log32- log 100

t [log 8-1] + (8-t) x [log 9-1] = log25 - 2

t [log2 ³ - 1] + (8-t) x [log3² - 1] = 5 x log2 - 2

t [3 log2 - 1] + (8-t) x [2 log3 - 1] = 5 x log2 - 2

t [3 (0,30) - 1] + (8-t) x [2 x (0,48) - 1] = 5 x (0,30) - 2

t (-0,1) + (8-t) x (-0,04]