MATEMATICA APLICADA PASSO 1 FEITO

INTRODUÇÃO

A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.

A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

Neste trabalho estudá-la-emos no âmbito econômico-contábeis, sabe-se que os cálculos voltaram se a marginalidade e elasticidade.

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NAS ÁREAS ECONÔMICAS E ADMINISTRATIVAS

a. Objetivo

Usos mais importantes das derivadas em economia e administração. Você estudará o significado econômico da marginalidade avaliando o custo marginal, custo médio marginal, receita marginal e lucro marginal. Outraaplicação das derivadas envolve o conceito de elasticidade associada ao preço e à demanda de um produto e sua relação com a receita, bem como a elasticidade associada à renda e à demanda.

b. Funções Marginais

Como funções marginais, estudaremos: o custo marginal, a receita marginal, o lucro marginal e o custo médio marginal.

Em outra seção, mais adiante, analisaremos a propensão marginal a consumir e a propensão marginal a poupar. Em todas as análises, será necessário ter a clareza do significado econômico da palavra marginal. O significado da palavra marginal pode ser estendido a outras funções, sendo natural pensar em produção marginal e produção média marginal de maneira análoga a que discutiremos no custo marginal, custo médio marginal etc.

i. O Custo Marginal de uma produção

O Custo Marginal corresponde ao acréscimo dos custos totais de produção, quando se aumenta a quantidade produzida em uma unidade. É o custo de se produzir mais uma unidade.

Numa situação normal, o custo marginal começa por decrescer à medida que se aumenta a quantidade produzida, situação que se justifica pelo fato de existirem custos fixos que se diluem em quantidades maiores (é o chamado efeito de escala).

Para se analisar é necessário: a função da produção em relação ao custo C(q) e a sua derivada C’ (q)=;que chamamos Custo Marginal.

ii. Função Custo Marginal e Outras Funções Marginais

Para cada nível de produção temos um custo marginal, o que motiva a determinação da função Custo Marginal. Assim, em análises Econômicas e administrativas, definimos a função Custo Marginal, simbolizada por Cmg, como a derivada da função Custo:

Cmg = Função Custo Marginal = C'(q)

Em diversas análises, economistas e administradores têm o interesse em lidar com o custo marginal, pois é interessante saber como variam os custos em determinados níveis de produção na medida em que ocorrem variações nas quantidades produzidas ou, em outras palavras, além de conhecer os custos envolvidos em um nível de produção, também é importante saber a que taxa tal custo está variando nesse nível de produção.

iii. A Receita Marginal

Nos dá a variação da receita correspondente ao aumento de uma unidade na venda de um produto. A função Receita Marginal é obtida pela derivada da Função Receita. Se a função Receita é simbolizada por R(q), então:

R mg = Função Receita Marginal = R'(q)

É comum analisar a receita vinculada ao custo, associando custo e receita para uma mesma quantidade produzida/vendida. Sob esse aspecto, podemos calcular o lucro para um certo nível de produção/venda e, consequentemente, estabelecer o Lucro Marginal.

iv. O Lucro Marginal

A variação do lucro correspondente ao aumento de uma unidade na venda de um produto. A função Lucro Marginal é obtida pela derivada da função Lucro. Se a função lucro é simbolizada por L(q), então:

L mg = Função Lucro Marginal = L'(q)

O Custo Médio Marginal nos dá a variação do custo médio de um produto correspondente ao aumento de uma unidade na produção dele. A função Custo Médio Marginal é obtida pela derivada da função Custo Médio . Se a função custo médio é simbolizada por C me(q), então:

C memg = Função Custo Médio Marginal = C me(q)v. A Produção Marginal

A variação da produção correspondente ao aumento de uma unidade na quantidade do insumo utilizado na produção. A função Produção Marginal é obtida pela derivada da função Produção. Se a função produção é simbolizada por P (q), então:

P mg = Função Produção Marginal = P' (q)

Custo Marginal

C mg = C’(q)

Receita Marginal

A receita marginal na venda de um produto é dada por R = p • q Onde p é o preço em função da quantidade q.

Lembramos que a Receita Marginal é obtida a partir da derivada da Receita.

vi. Lucro Marginal

Vale relembrar que o lucro é dado subtraindo-se da receita o valor do custo:

L = R-C

Lembramos que o Lucro Marginal é obtido a partir da derivada do Lucro. Na análise do lucro na comercialização de um produto, é interessante avaliar a quantidade a ser comercializada para obter o lucro máximo. No capítulo anterior, vimos que os pontos de máximo ocorrem em pontos críticos especiais e que é muito comum encontrar o ponto máximo de uma função f(x) onde f (x) = O com f "(x) < O, ou seja, é comum encontrar ponto de máximo onde a derivada primeira é nula e a derivada segunda é negativa.

De modo análogo, para a função Lucro, o lucro máximo costuma ocorrer

onde L'(q) = O e L"(q) < 0.

vii. Custo Médio Marginal

Lembramos que o Custo Médio, ou Custo Unitário, é dado por

Cme = C(q)q

c. Elasticidade

Elasticidade é a alteração percentual em uma variável, dada uma variação percentual em outra. É sinônimo de sensibilidade, resposta, reação de uma variável, em face de mudanças em outras variáveis.

viii. Elasticidade-preço dademanda

Elasticidade-preço da demanda é a variação percentual na quantidade demandada, dada uma variação percentual do bem. Mede a sensibilidade, a resposta dos consumidores quando ocorre uma variação no preço de um bem ou serviço. De acordo com a elasticidade-preço demanda, pode ser classificada como elástica, inelástica ou de elasticidade-preço unitária.

O valor numérico da elasticidade preço da demanda é formado pela disponibilidade dos bens substitutos, essencialidade do bem, importância relativa do bem no orçamento e o horizonte de tempo.

O calculo é dado por: variação percentual em q = 100∆qq , obter sua derivada q’(p)=lim∆p→0∆q∆p, maneira aproximada q’(p) ≅ ΔqΔp, também permite a variação se escrita como produto ∆q ≅ q’(p) . ∆p