MAXIMOS E MINIMOS CONDICIONADOS

MAXIMOS E MINIMOS CONDICIONADOS: Multiplicadores de Lagrange

RESUMO:

Neste trabalho serão analisados os Máximos e Mínimos Condicionados, o Método de Multiplicadores de Lagrange, o qual permite analisar as situações mais gerais de uma função, tornando – a menos complexa. Serão apresentadas também, algumas aplicações do tema, para demonstrar detalhadamente cada passo deste mesmo.

INTRODUÇÃO:

O Maximo ou mínimo de uma função de duas variáveis pode ocorrer na fronteira de uma região ou no seu interior.

Analisando esta figura (5.1) podemos dizer que:

- os pontos P1 e P2 são pontos de mínimo da função z = f (X, Y) situados no interior de A D(f)

- o ponto P3 é o ponto de Maximo situado na fronteira de A D(f)

1. METODOS:

1.1 Consideremos os seguintes problemas

1) Max f (x,y) = 4 – X^2 – Y^2

2) Max f (x,y) = 4 – X^2 – Y^2

X + Y = 2

O problema (1) é um problema de otimização irrestrita.

No problema (2) temos a presença de uma restrição ou vinculo. Estamos diante de um problema de otimização restrita, em que queremos encontrar o maior valor da função em um subconjunto de seu domínio, nesse caso, o subconjunto do plano XY dado pela reta X + Y = 2.

Nesse contexto , a solucao do problema (1) é chamada um ponto de maximo livre ou não-condicionado de f. A solucao do prblema (2) é dita um ponto condicionado de f.

Uma vizualizacao desses problemas, mostra-se nessa imagem : 5.20

2. PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE DUAS VARIAVEIS E UMA RESTRIÇÃO

Max F (X, Y)

G (X, Y) = 0

Usando as propriedades do vetor gradiente, vamos obter uma visualização geométrica do método de Lagrange, que nos permite determinar os candidatos pontos de Máximo e mínimo condicionados de f .

Para isso esboçamos o gráfico de g( X,Y ) = 0 e diversas curvas de nível f ( X,Y ) = K da função objetivo , observando os valores crescentes de K. O valor Maximo de f( X,Y ) sobre a curva g(X,Y) = 0 coincide com o maior valor de K tal que a curva f(X,Y) = K intercepta a curva de g(X,Y) = 0. Isso ocorre em um ponto P zero. Nesse ponto, as duas curvas têm a mesma reta tangente t ( Figura 5,21 )

3. APLICAÇÕES

3.1) Determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função z=f(x y) com a condição de que os pontos (x y) pertençam à curva g(x y)=0 .

Solução:

Se pudermos explicitar y=h(x) ou x=h(y) na equação g(x y)=0 , substitui-se na função z=f(x y) e teremos que resolver um problema de maximizar ou minimizar uma função de uma variável em x, z=f(x h(x)) , ou em y, z=f(h(y) y) em um intervalo fechado. Se isto não for possível, empregamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que se baseia no seguinte teorema:

Se P é um ponto de máximo ou mínimo de z=f(x y) sobre uma curva g(x y)=0

, onde g(P) é diferente de 0, então,

f(P)= g(P)

3.2) Determine a curva de nível da função f(x, y) = x2 + 16y2

que seja tangente a curva (um ramo de hipérbole) xy = 1, x > 0 e y > 0.

Determine também o ponto de tangencia.

Solução: