Matematica Aplicada

Vários conceitos básicos da matemática, criados para atender a certas necessidades e resolver problemas específicos, revelaram posteriormente uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolução das ideias e o desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posição definitiva de grande relevância nesta Ciência. Em alguns casos, a utilidade original foi, com o tempo superado por novas técnicas, mas a relevância teórica se manteve.

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras.

Anterior à invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante em matemática teórica. De início, Napier chamou os logaritmos de "números artificiais" e os antilogaritmos de "números naturais". Mais tarde, Napier formou a palavra logaritmo, para significar um número que indica uma razão: λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando número. Napier escolheu dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a uma série geométrica de números.

Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a ideia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente.

Resumindo: Um matemático do século 17 achava os logaritmos importantes porque eles lhe permitiam efetuar cálculos com rapidez e eficiência. Um matemático de hoje ahca que a função logaritmo e sua inversa, a função exponencial, ocupam uma posição central na análise matemática por causa de sua propriedades funcionais.

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação b x = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: log b N = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:

a) log 2 8 = 3 porque 2 = 8.

b) log1 = 0 porque 4 0 4 = 1.

c) log9 = 2 porque 3 2 3 = 9.

d) log5 = 1 porque 5 1 5 = 5

Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log 10 N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10 x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, log e M = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:

a) log100 = 2 porque 10 2 = 100.

b) log1000 = 3 porque 10 3 = 1000.

c) log2 = 0,3010 porque 10 0,3010 = 2.

d) log3 = 0,4771 porque 10 0,4771 = 3.

e) ln e = 1 porque e 1 = e = 2,7183...

f) ln 7 = log e 7

Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log 3 (-9) , log 2 0 , etc.

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1. logb b = 1.

Exemplo: log8 8 = 1.

b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0. logb 1 = 0

Exemplo: log9 1 = 0

c) Logaritmo de uma potência logb ay = y. logb a

Exemplo: Log2 34 = 4. log2 3

d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x. logb bx = x

Exemplo: Log3 37 = 7

e) Um número b, elevado ao logaritmo de a na base b, é sempre igual a a.

Exemplo: 7log7 13 = 13

f) Logaritmo do produto: logc (m . n) = logc m + logc n, sendo m > 0, n > 0 e b 1.

Exemplo: log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3

Bibliografia:

http://www.algosobre.com.br/matematica/logaritimos.html

http://www.colegioweb.com.br/matematica/definicao-de-logaritmos.html

http://www.wikipedia.com.br/logaritmo

1. (UERJ) Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um

feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:

Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora

anterior;

Nas 8 – t horas restantes