Matematica Aplicada

Um dos pioneiros do Cálculo Moderno é Sir Isaac Newton, um físico que desenvolveu conceitos do cálculo, e não é por nada – ressalto o quão fundamental é o cálculo para a Física. Ele relutou até aceitar que fossem publicadas suas descobertas acerca dessa maravilhosa área da matemática.

A noção de derivada é quase uma extensão do conceito de coeficiente angular da geometria analítica, mas se aplica a qualquer função, e não apenas a retas. Para entender o que é a derivada, é preciso que se conheça o conceito de limite. O limite é uma aproximação infinitesimal de x a algum valor, mas sem que x seja exatamente aquele valor.

Função y = 1/x. Essa função não está definida para x = 0, pois não existe divisão com quociente 0 (zero) na matemática. Pegue um valor cada vez mais próximo de zero e substitua na função dada. Se pegarmos x = 0,1 obtemos y = 10. Pegando x = 10^-10 (dez elevado a menos dez, que é 0,0000000001), obtemos y=10^10, que é 10000000000. Com x = 10^-10000000, teremos um y de 10^10000000, e assim sucessivamente. Concluímos que se aproximarmos x infinitamente de zero, obteremos um valor infinito de y. Então, o limite lateral com x tendendo a zero de 1/x é infinito.

A derivada é a inclinação do gráfico de uma dada função, para um dado valor de x. Também pode ser interpretada como o quanto y varia em função de x. No caso da reta, a inclinação não varia em função de x, pois é constante por todo o gráfico (em retas, a derivada é constante e corresponde ao coeficiente angular). Em funções que não são retas, a derivada depende do valor de x. É só pensar, por exemplo, numa função como uma parábola, a famosa função de segundo grau, do Ensino Médio. A inclinação do gráfico dessa função não é a mesma para todos os valores de x. Assim funciona com uma função trigonométrica, como a função seno, por exemplo.

A primeira e mais clássica aplicação da derivada é a velocidade instantânea de um corpo (viu como é importante? A primeira matéria ensinada no curso de Física I já envolve derivadas). Se for dada a função que descreve a posição de um corpo em função do tempo, a derivada dessa função corresponde à velocidade do corpo naquele instante de tempo. Isso permite que se calcule a velocidade do corpo para qualquer instante de tempo (a não ser que a derivada não esteja definida em algum ponto, o que não ocorre na Física Clássica). Tal noção é intuitiva, pois se o gráfico da posição em função do tempo é muito inclinado há uma grande variação de espaço por unidade de tempo, ou seja, o módulo da velocidade é alto. Se pegarmos, analogamente, a função da velocidade em função do tempo e determinarmos a derivada, temos a aceleração do corpo pra qualquer instante (a aceleração é definida como a variação de velocidade dividido pela variação de tempo).

http://sociedaderacionalista.org/2013/07/12/calculo-a-definicao-da-derivada-a-explicacao-intuitiva-e-algumas-aplicacoes/