Matematica Aplicada

1 MATEMÁTICA APLICADA - FUNÇÕES

1.1 Conceito

Em matemática, uma relação é apenas um conjunto de pares ordenados. Se utilizamos { } como o

símbolo para o “conjunto”, temos abaixo alguns exemplos de relações entre pares ordenados:

• {(0.1), (55.22), (3, - 50)}

• {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)}

• {(- 1.7), (1, 7), (33, 7), (32, 7)}

Por vezes podemos identificar, em várias situações práticas, variáveis que estão em relação de

dependência. Aqui, buscamos explicitar situações que envolvam essa relação de dependência,

determinando, assim, suas variáveis.

Essa identificação será baseada em parte da teoria de conjuntos. Verificamos, nessa teoria, que

podemos relacionar números através de relações gráficas em um plano cartesiano, números que, de maneira

geral, são chamados de x e y pelos matemáticos.

Em diversos momentos de nosso dia a dia empregamos o conceito de função, até sem perceber.

Vejamos a seguir algumas situações do nosso cotidiano nas quais podemos destacar tais relações

funcionais.

Unidade I

Quando completamos rapidamente o cálculo do valor de um lanche em que pedimos dois salgados e um

refrigerante, não sabemos imediatamente quanto iremos gastar?

Ao completarmos uma previsão de gastos residenciais e compará-los com a renda familiar, saberemos se

teremos condições de adquirir um bem?

Ao finalizarmos um crediário e verificarmos que o valor final terá um acréscimo de determinada soma,

poderemos aceitar ou não os juros propostos pela empresa.

Ao calcularmos a quantidade de material necessária para uma reforma, poderemos estimar os gastos

iniciais?

É fato que o conceito de função, juntamente com sua representação gráfica, é a ferramenta matemática

mais potente na formatação de problemas empresariais, motivo que nos levará a estudá-lo de modo amplo.

Além disso, deve-se exercitar continuamente, pois o gestor precisa tomar constantemente decisões,

amparado por ferramentas matemáticas, para obter o sucesso pretendido. Claramente, em uma relação entre

pares ordenados, não há absolutamente nenhuma condição especial que a estabeleça, isto é, qualquer

conjunto de números é uma relação, contanto que esses números sejam pares ordenados.

Já para uma função temos condições precisas que definem sua existência. Ainda assim, funções são um

tipo especial da relação.

Vejamos:

Uma relação f: A → B é chamada de função se:

(I) não há elemento x em A sem correspondente y em B (não podem “sobrar” elementos de A);

(II) qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (não pode haver elemento de A

“associado” a mais de um elemento de B).

Observação: no entanto, elementos distintos de A podem ser associados a um mesmo elemento de B e

podem “sobrar” elementos de B.

Outra representação, mais conveniente e muito mais utilizada, é: uma função é uma relação entre duas

variáveis x e y, de forma que o conjunto de valores para x seja atribuído e a cada valor x seja associado um e

somente um único valor para y, como y = f(x).

Nesse caso:

O conjunto de valores de x é nomeado o domínio da função.

As variáveis x e y são nomeadas, simultaneamente, independente e dependente.

A relação entre as variáveis x e y tem uma significação de grande apelo visual, que destaca propriedades

da função.

Pode-se, através da descrição gráfica da função, observar diretamente, por exemplo, se as variáveis

estão em relação crescente (ou seja, aumento em x associado a aumento em y) ou se a variação de y é

dependente quadrática da variação de x, etc.

1.2 Definição

Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por f :

A ® B ; y = f(x), a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A um único elemento de B .

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x Î A esteja associado

um único y Î B, podendo, entretanto, existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente

ao conjunto A.

Observação: na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está

associado a x através da função f.

Exemplos:

f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ;

f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.

Para definir uma função necessitamos de dois conjuntos (domínio e contradomínio ) e de uma

fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do

contradomínio