Matematica Aplicada

FACULDADE ANHANGUERA DE SANTO ANDRÉ (UNIDADE II)

MECATRÔNICA INDÚSTRIAL 2° SEMESTRE

Matemática Aplicada

Passo 1

Previsão

O que é?

A função PREVISÃO estima valores a partir de duas séries de dados que sigam um modelo de dependência linear.

A regressão linear aproxima uma reta y(x) ==?x + c a um conjunto de pontos dados onde há dependência de uma variável em relação a outra. A reta é calculada de forma a minimizar a distância entre seus pontos e os valores observados.

Por exemplo, sabendo-se que há uma relação aproximadamente linear entre o número de carros circulando em uma cidade e a quantidade de monóxido de carbono lançada por estes carros na atmosfera, dados obtidos por regressão podem servir para a estimativa de quanto deste gás tóxico será emitido anualmente quando determinada quantidade de carros estiver em circulação.

A diferença entre as funções PREVISÃO e TENDÊNCIA é que TENDÊNCIA pode ser aplicada em forma matricial, de forma a calcular vários valores simultaneamente.

Sintaxe da função

PREVISÃO (x; val_conhecidos_y; val_conhecidos_x)

 X é o valor de x cujo y(x) você deseja obter;

 Val_conhecidos_y é o intervalo de valores dependentes (os y(x));

 Val_conhecidos_x é o intervalo de valores independentes (os x).

Neste exemplo, a secretaria do meio ambiente de uma cidade realiza uma pesquisa sobre a quantidade de monóxido de carbono despejada na atmosfera pelos carros em perímetro urbano. Estimativas da quantidade de CO na atmosfera são realizadas pela secretaria a cada mil novos carros registrados pelo departamento de tráfego; veja as últimas oito medições:

É razoável que haja uma relação linear entre a quantidade de CO emitido e o número de carros circulando pela cidade. Um gráfico dos dados acima confirma a relação existente; observe que a regressão linear produz uma reta que representa bem os pares medidos:

Usaremos a função PREVISÃO para estimar quantas toneladas de CO serão lançadas à atmosfera anualmente quando a cidade tiver 20000 carros. Observe a aplicação da função:

F12 tem o número de carros cuja emissão desejamos estimar; G4:G11 é o intervalo com as emissões para a quantidade de carros listada em F4:F11. Observe o resultado da função:

Função Linear

Dentro do estudo das funções já vimos que toda função na forma , com é denominada função afim.

Agora vamos estudar um tipo particular de função afim em que o termo independente de x é igual a zero, isto é, quando . Neste caso particular a denominamos função linear.

Assim sendo, toda função na forma , com é denominada função linear.

O Gráfico da Função Linear Passa pela Origem do Plano Cartesiano

Uma característica das funções lineares é que o seu gráfico passa pelo ponto (0, 0), a origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Vamos analisar o gráfico ao lado contendo as funções lineares y = 3x, representado pela reta em azul e y = -2x, representado pela reta em vermelho:

Ambas as funções intersectam o eixo das abscissas exatamente no ponto (0).

Isto ocorre, pois o seu coeficiente linear, b, é igual a zero.

É o valor do coeficiente b que determina a ordenada (y) do ponto com abscissa (x) igual a zero.

Para a função y = -2x, quando x = -1 temos que y = 2, representado pelo ponto (-1, 2):

Para a função y = 3x, quando x = 1 temos que y = 3, que representamos pelo ponto (1 3):

Proporcionalidade na Função Linear

Analisemos ao lado novamente o gráfico da função y = -2x, onde destacamos os pontos (-1, 2), (-2, 4), (-3, 6) e (-7/2, 7):

Como vimos na página sobre grandezas proporcionais, "duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra também diminui".

Tendo isto em mente vamos analisar os pontos (-1, 2) e (-2, 4) pertencentes à função.

Observe que se multiplicarmos tanto a abscissa -1 do primeiro ponto, quanto a sua ordenada 2 pelo mesmo valor 2, iremos obter exatamente o ponto (-2, 4).

Se tomarmos os pontos (-1, 2) e (-7/2, 7) e realizarmos os mesmos procedimentos, só que agora multiplicando por 3,5, novamente iremos obter o segundo ponto.

O mesmo ocorrerá se pegarmos, por exemplo, os pontos (-2, 4) e (-3, 6), onde a razão entra as abscissas é igual a razão das ordenadas:

Note que temos uma proporção.

Isto ocorre, pois dado um ponto qualquer (x, y) pertencente a função, se multiplicarmos x e y por uma mesma constante k, iremos encontrar o ponto (kx, ky) que também pertence à função.

Quando aumentamos ou diminuímos x um número de k vezes, o valor de y será igualmente aumentado ou diminuído este mesmo número de vezes, portanto k é a constante de proporcionalidade.

Função Identidade

Qualquer função na forma , ou seja, uma função afim com e é denominada