Matematica Aplicada

ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES)

No presente capítulo, estudaremos as noções básicas sobre derivadas de funções e algumas de suas aplicações nas áreas da Economia e Administração. A noção de derivada é uma das mais importantes e poderosas ferramentas da Matemática. Para um bom entendimento sobre derivadas necessitamos do conceito de taxa de variação média e também o de taxa de variação instantânea. São dois conceitos simples, importantes e fundamentais para o entendimento das derivadas. 1) TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA Vejamos um exemplo inicial: Considere a função f(x) = x2 , que define a produção (em toneladas) de uma Empresa X, em função do número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do expediente, que é representado por x = 0, foi 0:00 horas. Podemos verificar que a produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número de horas trabalhadas, isto é, um intervalo de uma hora, entre 2 h e 3 h, por exemplo, vai gerar uma produção menor que um intervalo de uma hora, entre 5 h e 6 h. Veja isso: a) Produção da Empresa até as 2 horas 4 f(2) – f(0) = 22 - 02 = 4 toneladas. b) Produção da Empresa até as 3 horas 4 f(3) – f(0) = 32 - 02 = 9 toneladas. Aqui verificamos um aumento de produção de 5 toneladas (9 – 4), em 1 hora, no intervalo de 2 horas às 3 horas. c) Produção da Empresa até as 5 horas 4 f(5) – f(0) = 52 - 02 = 25 toneladas. d) Produção da Empresa até as 6 horas 4 f(6) – f(0) = 62 - 02 = 36 toneladas. Aqui verificamos um aumento de produção de 11 toneladas (36 – 25), em 1 hora, no intervalo de 5 horas às 6 horas. O que o exemplo nos mostra? Que, mesmo sendo um intervalo igual (de 1 hora), a variação da produção não foi a mesma. Em linguagem matemática, dizemos que a taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas foi de 5 ton/h e que a taxa de variação média da produção, das 5 às 6 horas foi de 11 ton/h. Definição: Dizemos que a taxa de variação média de uma função y = f(x), no intervalo de a até b (x variando de a até b) é a razão definida por: b - a f (b) -f(a) TV a b=

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