Matematica Financeira

No regime de juros compostos, a incidência de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior. Assim, o juros é sempre crescente, mesmo que a taxa de juros permaneça constante durante todo o prazo da aplicação ou do investimento.

O regime de juros compostos é mais comum do que o regime de juros simples, sendo utilizado nas principais operações financeiras, tanto investimentos como financiamentos.

Fórmulas de Cálculo da Capitalização Composta:

No regime de juros compostos há uma única fórmula que relaciona o montante ou o valor futuro, com as outra variáveis: Valor Presente, taxa de juros, prazo. Tudo no regime composto é realizado por meio de uma única fórmula fundamental.

O Valor Futuro ( FV ) de um capital ( PV ) aplicado a taxa de juros compostos i, por um prazo n, é dado por :

OBSERVAÇÃO:

• A fórmula expressa o montante no final de n períodos como uma função exponencial de capital inicial aplicado.

• O fator ( 1 + i ) n é chamado Fator de Capitalização ou do valor futuro para aplicação única. É o fator que devemos multiplicar o valor da aplicação ou do investimento para calcularmos o valor futuro ou de resgate de uma operação financeira qualquer. Ou seja, esse fator puxa grandezas para frente ; e permite encontrar o montante ou valor futuro de uma aplicação.

• Na equação acima, as unidades de medida do tempo ‘n” e da taxa de juros ‘i “ devem ser idênticas além do que a taxa de juros i deve estar expresso em fração decimal.

• A fórmula acima,é utilizada para se obter o Montante ou o Valor Futuro para um único Pagamento ou Recebimento ocorrido no final do período.

EXEMPLO: Qual o montante no final dos 3 meses, a uma taxa de juros de 10% ao mês no regime de juros compostos, a partir de um capital de $ 1.000,00?

Dados: PV= $ 1.000; i = 10% ao mês; n = 3 meses; FV= ?

FLUXO DE CAIXA

FV = ?

0 3

PV = $ 1.000

Solução Algébrica:

FV = PV ( 1 + i ) n

Substituindo os valores : FV = 1.000 x ( 1 + 0,10) 3

FV = 1.000 x 1,331

FV = 1.331,00

Calculadora Financeira – HP 12C:

Uma outra opção para se calcular o Valor Futuro é através das Calculadoras Financeiras tipo HP 12C assim como outras calculadoras disponíveis no mercado. Essas máquinas dispõe de teclas especialmente dedicadas ao cálculo financeiro a juros compostos. São elas: PV (Valor Presente) – FV (Valor Futuro) – i (Taxa Juros) – n (Prazo).

On (liga a máquina)

F clear fin (zera memória financeira)

STO EEX (prepara a maquina para capitalização composta)

1.000 CHS PV (armazena o valor presente)

10 i (armazena a taxa de juros)

3 n (armazena número de períodos = prazo)

FV 1.331 (calcula o valor futuro)

Na Hp 12C , as funções i e n representam a taxa de juros efetiva e o prazo, respectivamente. PV é o principal ou valor presente que temos na data zero; FV é o valor futuro ou o montante, que será igual ao valor da aplicação mais os juros ganhos. A diferença entre as entradas e as saídas pode ser simbolizadas pelos sinais positivos e negativos, conforme convenção do usuário. Se o principal PV entrar com sinal positivo, o montante FV será calculado com sinal negativo e vice-versa; um deve necessariamente ser oposto ao outro.

• Valor Presente ou Capital ou Principal :

O Valor Presente ou Capital pode ser obtido a partir da fórmula do Valor Futuro:

FV = PV x ( 1 + i ) n (Eq. 1)

Assim, conhecidos os valores: FV; i; n; o Valor Presente (PV) será obtido através da seguinte fórmula:

O fator 1/ (1+i)n é conhecido como fator presente, fator de valor atual ou fator de atualização para pagamento único. Podemos constatar que o fator de valor presente é simplesmente inverso do fator de valor futuro (1+i)n portanto, o cálculo do valor atual é apenas uma operação inversa do cálculo do montante.

Diagrama de Fluxo de Caixa

FV

I

PV = ??? n

EXEMPLO: Um capital aplicado durante 6 anos a taxa de juros compostos de 15% ao ano transformou-se em $ 14.000. Encontrar o capital inicialmente aplicado.

Dados: n = 6 meses i = 15% aa FV= 14.000 PV= ?

Fluxo de Caixa:

FLUXO DE CAIXA

FV = 14.000

0 (1 + i)n = (1,15)6 6

PV = ?

Solução Algébrica:

PV = FV = 14.000 = 14.000 = $ 6.052,62

( 1+ i) n (1,15)6 2,31306