Matematica Financeira

INTRODUÇÃO

A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações de dinheiro e nos pagamentos de empréstimos. Dominar os conceitos da Matemática Financeira torna os seres superiores em termos de finanças, pois o dinheiro é peça fundamentam num mundo dominado pelo capital.

Desde os primórdios das civilizações o domínio do comercio fez a diferença entre ricos e pobres. Com o passar dos tempos o legado continua a dividir pobres e ricos, compreender os fundamentos de matemática financeira e fator crucial para se chegar ao sucesso quer no âmbito pessoal ou comercial.

ETAPA 1

Passo 1

Conceitos da Matemática Financeira

A matemática financeira é a parte da matemática em que se aplica a análise de dados financeiros, como comparativos e relacionamentos. A matemática financeira tem sua origem na análise de juros e se estende até questões mais complicadas como os cálculos atuariais.

Os conceitos básicos da matemática financeira são: finanças e economia, que relacionam as variáveis fundamentais da matemática financeira.

Capital: Refere-se ao montante financeiro empregado em algum investimento ou tomado em algum financiamento. Também pode ser chamado simplesmente de montante. Tudo gira em torno do capital, que é remunerado de acordo com a troca que ocorre entre credor e devedor. Todas as operações financeiras envolvem algum capital, e no fim, toda operação de matemática financeira busca analisar o impacto das relações entre as partes e o tempo sobre o capital.

Capitalização: A capitalização é a forma de “rentabilização” do capital. A forma de capitalização pode ser habitualmente do tipo simples ou composta. O próximo tópico explica em detalhes as diferenças entre as duas formas de capitalização. A capitalização por si só conecta o valor presente ao valor futuro através de uma relação matemática, relação que segue a proporção dos juros em função do tempo.

Juro: É a remuneração do capital em função do tempo. O juro é aplicado (multiplicado) pelo capital empregado na capitalização. Para o devedor, os juros dão o valor do custo do dinheiro em função do tempo do empréstimo, é o ônus financeiro de tomar este recurso emprestado. Sob a ótica do credor, os juros são o rendimento da aplicação, do financiamento cedido, são a taxa de capitalização. O juro é a taxa que relaciona o valor presente com o valor futuro.

Valor presente: Um capital que está disponível para aplicação ou resgate no dia de hoje, recebe o nome de valor presente. O valor presente também se refere a tudo aquilo que não possui risco de fator tempo, uma vez que conceitualmente falando, o risco dentro de um mesmo dia é zero. Isso significa dizer também que, ao menos em tese, não se pode emprestar dinheiro para pagamento no mesmo dia e inclusive, se cobrar juros por isso. O valor presente é intimamente ligado ao valor futuro através da capitalização.

Valor futuro: Um capital que será recebido ou pago no futuro recebe o nome de valor futuro. Por ser um valor a receber, não pode ser utilizado hoje. Por estar no futuro, o valor futuro corre o risco de fator tempo, de forma proporcional ao tipo de capitalização utilizado no fluxo do investimento ou financiamento. O valor futuro é intimamente ligado ao valor presente através da capitalização.

Tempo: O tempo refere-se ao prazo de aplicação. É fator determinante para capitalização, uma vez que é a medida que diz a proporção de juros de rendimento que uma capitalização vai pagar ao investidor, ou que o devedor vai ter de pagar ao credor.

Taxa nominal, efetiva e real: Recebe o nome de taxa nominal o valor absoluto de uma taxa de juros, valor que acaba ficando sujeito aos efeitos da inflação. Isso significa dizer que a taxa nominal não desconta a inflação do seu rendimento.

Taxas equivalentes e proporcionais: Taxas que resultam no mesmo retorno quando comparadas a um intervalo idêntico e formadas através da capitalização composta são taxas equivalentes. Taxas que resultam no mesmo retorno quando comparadas a um intervalo idêntico e formadas através da capitalização simples são taxas proporcionais.

Fluxo de caixa: O fluxo de caixa é a representação gráfica para uma série de pagamentos e recebimentos em função do tempo. Um fluxo de caixa é representado como sendo uma linha de tempo na horizontal onde setas na vertical indicam entradas e saídas financeiras em relação ao caixa.

Formas de Capitalização

No regime de capitalização composta, os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, em que o capital cresce de forma geométrica. O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização

Em economia inflacionária ou em economia de juros elevados, é recomendada a aplicação de capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples poderá produzir distorções significativas principalmente em aplicações de médio e longo prazo, e em economia com altos índices de inflação produz distorções mesmo em aplicações de curto prazo.

Juros Compostos

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.).

Convenção Linear e Convenção Exponencial

A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. Esta convenção é, em essência, uma mistura de regime composto e linear, adotando fórmulas de juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples na parte fracionária. Já a convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período. Ou seja, utiliza capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária.

Esta convenção é mais generalizadamente usada na prática, sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os períodos não inteiros.

Taxas Equivalentes

Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, se aplicadas sobre um mesmo capital, por um período equivalente de tempo, gerando montantes iguais.

No sistema de capitalização composta, ao contrário do que acontece no sistema de capitalização simples, duas taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais entre si.

Daí a necessidade de obtermos uma relação que nos permita calcular a taxa equivalente, num certo período de tempo, a uma dada taxa de juro composto.

Taxa Nominal ou Aparente e Taxa Efetiva

Existem algumas situações em que a taxa utilizada na operação não coincide com o período de capitalização. Por exemplo, aplica-se R$ 1.000,00 a juros compostos por três meses à taxa de 70% ao ano, capitalizados mensalmente. Note que, apesar da taxa ser expressa em termos anuais, a capitalização se dá em termos mensais. Isto implica estarmos utilizando uma taxa nominal anual quando, efetivamente, a remuneração do capital se dá em termos mensais. Para tanto, faz-se necessária a distinção entre taxa nominal e taxa efetiva.

Taxa nominal: é aquela cuja unidade do período a que se refere não coincide com a unidade do período de capitalização.

Taxa Efetiva: é aquela que efetivamente grava uma operação financeira.

Dada uma taxa de juros nominal procede-se, para o cálculo da respectiva taxa de juros efetiva, por convenção, de maneira igual a do sistema de capitalização simples, isto é, calcula-se a taxa proporcional à dada, relativa à unidade de tempo mencionada para a capitalização, e, posteriormente, apura-se exponencialmente a taxa efetiva à nominal.

Capitalização Simples

No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancário a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A capitalização simples, porém, representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples.

Juros Simples

No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros.

Taxas Proporcionais

Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere à taxa de juros; e (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros.

Taxas Proporcionais: Duas (ou mais) taxas de juro simples são ditas proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, forem uma proporção.

Equivalência de Capitais a Juros Simples.

Dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes, são ditos capitais equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.

A data para a qual os capitais serão transportados é chamada data focal. No regime de juros simples, a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa que definida uma taxa de juro, e a forma de cálculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados para outra data, mesmo mantendo-se todas as outras condições do problema.

Utilizando a HP 12C

HP 12C é uma calculadora financeira programável utilizada na execução de cálculos financeiros envolvendo juros compostos, taxas de retorno, amortização. A HP 12C utiliza método RPN e introduziu o conceito de fluxo de caixa nas calculadoras, utilizando sinais distintos para entrada e saída de recursos.

Foi lançada pela empresa de informática e tecnologia estadunidense Hewlett-Packard em 1981, em substituição às calculadoras HP 38E e 38C. Para oferecer uma alternativa com menor custo, a empresa brasileira BrtC lançou a calculadora FC-12, o seu segundo modelo de calculadora financeira e uma calculadora similar à HP 12C Platinum (incluindo as funções financeiras e o método RPN e algébrico).

Cálculos básicos na HP 12C

Diferentemente das calculadoras convencionais, que utilizam o método algébrico convencional, as HPs financeiras, utilizam o método Notação Polonesa Inversa, (RPN na sigla em inglês, de Reverse Polish Notation), que permite uma linha de raciocínio mais direta durante a formulação e melhor utilização da memória.

Cálculos básicos comuns: Por utilizar a notação RPN, a HP 12C exige um algoritmo (sequência de passos) de cálculo diferenciado para a sua utilização. Por exemplo, para que se possa somar dois valores é preciso realizar a seguinte operação:

• Primeiro valor

• Tecla [ENTER]

• Segundo valor

• Tecla [+]

Cálculos financeiros básicos: Para a realização de cálculos financeiros básicos com a HP 12C (calculos de juros simples ou compostos) é preciso estar ciente das seguintes teclas:

N: Indica o prazo que deve ser considerado. Pode ser dado em dias, meses, trimestres, anos, desde que de acordo com a taxa de juros.

I: Significa interest (juros, em inglês).Indica a taxa de juros usada no trabalho com o capital. Deve estar de acordo com o indicador de tempo.

PV: Significa Present Value (valor presente, em inglês). É o capital inicial sobre o qual os juros, prazos e amortizações serão aplicados.

FV: Significa Future Value (valor futuro, em inglês). É o montante final resultante da soma dos juros acumulados com o Capital inicial, descontados os pagamentos, caso existam.

PMT: Significa Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em inglês. É o valor de uma parcela que pode ser adicionada ou subtraída do montante a cada período.

Para realizar cálculos nessa modalidade é necessário informar pelo menos 3 informações iniciais e obteremos uma outra como resposta. É importante ter em mente que [PV] e [FV] terão sempre valores com sinais opostos, pois se um representar uma saída de caixa, o outro será uma entrada de caixa. Caso o cálculo exija que sejam inseridos [PV] e [FV] simultaneamente para a obtenção de [i], [n] ou [PMT], deve ser pressionado [CHS] (chang signal) antes da inserção de um dos dois.

Passo 2

CASO A

I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17. (Errada)

Vestido / Terno / Sapato

Período = 12 meses

Parcela = R$ 256,25

Montante = R$ 3.075,00 (12xR$256,25)

Buffet

Período = 1 mês

Entrada = 25% = R$ 2.646,50

Restante da Divida: 75% = R$ 7.939,50

Montante = R$ 10.586,00

Empréstimo do Amigo

Montante = R$ 10.000,00

Empréstimo Banco

Capital = R$ 6.893,17

Juros = 7,81% = 0.0781 am 0,781 am / 30 = 0,0026 ad

Período = 10 dias

Juros = R$ 179,22

Conta:

Montante = R$ 6.893,17 . 0,0026 ad . 10

Juros = R$ 179,22

Montante = R$ 7.072,39

Vestido/Terno/Sapato = R$ 3.075,00 +

Buffet = R$ 2.646,50 +

Empréstimo Amigo = R$ 10.000,00 +

Empréstimo Banco = R$ 7.072,39 +

R$ 22.793,89

II – A Taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342 % ao mês. (Certa)

Período = 10 meses

Montante = R$ 10.000,00

Montante = Capital . (1+ 0,0233)n

10.000,00 = Capital . ( 1,0233)10

10.000,00 = Capital . 1,259

10.000,00 / 1,259 = Capital

7.942,81 = Capital

Juros = 10.000,00 – 7.942,81 = 2.057,19

III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91. (Errada)

Capital = R$ 6.893,17

Percentual Juros = 7,81% = 0.0781 am % 30

Período = 10 dias

Juros = R$ 179,22

Conta:

M = R$ 6.893,17 . 0,0026 . 10

Juros = R$ 179,22

Montante = R$ 7.072,39

Caso B

Marcelo e Ana pagariam mais jutos se, ao invés de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivrsse optado emprestar de seu amigo, a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.

Montante = Capital

Juros = 7,81% am = 0,0781 am = 0,0026 ad

Período = 10 dias

Conta:

M = R$ 6.893,17 . (1+0,0026)10

M = R$ 6.893,17 . 1,0263

M = R$ 7.074,74

Amigo # Banco = R$ 2,35

R$ 7.074,75 – R$ 7.072,39 = R$ 2,35

ETAPA 2

Passo 1

Pagamentos Postecipados e Antecipadas

Séries periódicas uniformes ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto em nível de financiamentos (Amortização) quanto de investimentos (Capitalização).

As séries uniformes de pagamento postecipados são aqueles em que o primeiro pagamento ocorre no momento, este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada. Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação, representada pela sigla “PMT”.

Postecipadas: são aquelas cujo pagamento ocorre no fim do período. É a sistemática normalmente adotada pelo mercado. Ex: Pagamento da fatura do cartão de crédito.

As séries uniformes de pagamentos antecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada. (BRANCO, 2002).

Antecipadas: são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no início do período. Exemplo: Compra em uma loja para pagamento em 4 prestações mensais, iguais, sendo uma de entrada.

CASO A

I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00.

O valor orçado inicialmente da TV foi de R$ 4.800,00. Com o planejamento financeiro, Marcelo juntou o valor de R$ 4.320,00 depois de 12 meses. Após esse período achou uma promoção do valor inicial da TV, com 10% de desconto a vista, totalizando o valor de R$ 4.320,00 , assim Marcelo não teve custo na aquisição do DVD-Blu-ray. (Errada)

II – A taxa média da poupança nestes doze meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês. (Errada)

Usando á formula de Depósitos Periódicos e Iguais, conseguimos chegar ao resultado que o juros mensais da caderneta de poupança não foi de 0,5107%.

S=T/i . (1+i)n /i -1/i

Onde:

S= Valor acumulado

T= valor depósito mensal

i = taxa juros

n = número de depósitos

Temos:

S = 350 (1+0,005107)12 – 1

S= 350 . 1,0630/ 0,005107 -1 / 0,005107 = 350 . 0,630 / 0,005107

S= 350 . 12,336009

S= R$ 4.317,60

CASO B

I – Clara optando pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do crédito (Certa).

CF = 0,028/ 1 = 1/ (1 +0,028)12

CF = 0,028 / 1 – 1 / 1,3928

CF = 0,028 / 1- 0, 7179

CF = 0,028 / 0, 2821 = 0,099

PMT = PV.CF

PMT = R$ 30.000,00 x 0,0099 = R$ 2.977,999

II – Clara optando pelo vencimento da primeira parcela no mesmo dia em que der a concessão não irá pagar R$ 2.896,88. (Errada)

CF = 0,028 / 1- 1/(1+0,028)11

CF = 0,028 / 1 – 1/ (1,028)11

CF = 0,028 / 1 -1/1,3549

CF = 0,028 / 1-0,7380

CF = 0,028/0,2619

CF = 0,1069

PMT = PV.CF

PMT = R$ 27.500,00 x 0,01069 = R$ 2.939,75

III- Caso Clara opte vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21.

Resolução Caso B (utilizando a calculadora HP12c):

30.000,00 CHS e logo em seguida PV

0 FV

2.8 i

12 n

PMT VISOR R$2.977,99

Passo 3

Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do credito, ela pagara R$2.977,99 a cada prestação.

Acionar a função BEGIN

30.000,00 PV

0 FV

12 n

2,8 i

PMT VISOR 2.896,88

Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia da concessão do crédito, ela pagará 2.896,88 a cada prestação.

III – A fórmula a ser utilizada é:

PMT= (PV x 〖(1+i)〗^(c-1 ) x i)/(1- 〖(1+i)〗^(-n) )

PMT = (30.000 x 〖(1+0,0280)〗^(4-1 ) x 0,0280)/(1- 〖(1+0,0280)〗^(-12) )

PMT = (30.000 x 1,0864 x 0,0280)/0,2821

PMT = 912,57/0,2821

PMT = 3.234,93

Caso Clara opte pagar a primeira prestação 4 meses após a concessão de crédito o valor que ela pagara em cada prestação não será de R$3.253,21 e sim de R$3.234,93.

A afirmação I esta certa, a afirmação II esta certa e a afirmação III esta errada.

ETAPA 3

Passo 1

Juros Compostos

Juros compostos são os juros de um determinado período somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros compostos fazem parte de disciplinas e conceito de matemática financeira, e esses juros são representados através de um percentual.

A fórmula de juros compostos pode ser escrita através da remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro, e o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia.

O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade quando comparado ao regime de juros simples, uma vez que juros compostos incidem mês a mês, de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal. Juros compostos são muito usados no comércio, como em bancos. Os juros compostos são utilizados na remuneração das cadernetas de poupança, e é conhecido como “juro sobre juro”.

Os juros compostos em disciplinas de matemática financeira, geralmente são calculados e aprendidos com a utilização da calculadora HP 12C, mas também é possível resolver seus cálculos e a fórmula no Excel.

Taxas de juros do Brasil

O Brasil é um dos campeões de juros altos em todo o mundo. Com a taxa SELIC na casa dos 10,50% ao ano, considerando inflação medida pelo IPCA de 4,5% (previsão do IPCA para 2012), a taxa de juros real projetada para este ano é de 6,0% ao ano. A trajetória da Selic para este ano tem sido de baixa, porém, analisando o período de 1999 e 2011, observa-se o seguinte comportamento: de 1999 a 2011, a SELIC ficou na média de 15,4%. No mesmo período, a inflação média pelo IPCA foi de 6,8%, resultando em juros real médio de 8,6%.

Juros real alto intoxicam a economia, com amplas ramificações: inibem a atividade produtiva, tornando o custo do crédito estratosférico, quando considerado o spread bancário (diferença entre taxa de captação e taxa de empréstimo dos bancos); tem peso significativo sob o estoque da dívida pública, fazendo com que o governo destine boa parte da arrecadação tributária para pagamento de juros de sua dívida, cada vez crescente, esterilizando recursos que poderia ser destinados a atividade produtiva; inibe o crescimento econômico. A atividade empresarial e empreendedora fica comprometida. Torna-se melhor alocar recursos excedentes para títulos públicos (com rentabilidade garantida e baixo risco), que alocar na atividade produtiva; qualquer projeto de investimento será analisado tendo como base a taxa Selic. Os empresários tomarão decisão de investimento somente se os projetos apresentarem rentabilidade superior à taxa. Neste caso, projetos com taxa de retorno e maturidade de longo prazo serão engavetados.

No ano de 2011, o governo federal gastou com juros (pagos sobre os títulos da dívida pública), R$ 236,7 bilhões, equivalente a 24,4% de toda a arrecadação federal no ano. O pagamento com juros cresceu 21% em um ano, reflexo do aumento na taxa de juros básica da economia. Para se ter uma idéia melhor do tamanho da conta com juros, tomemos como base de comparação todos os investimentos que o Estado Brasileiro tinha em empresas estatais em 2011.

A soma dos investimentos era de R$ 270 bilhões, considerando participação majoritária e minoritária em 44 empresas com destaque para Petrobrás, 31%; Eletrobrás, 42%; BNDES, 100%; CEF, 100%; BASA, 97%; BNB, 94%; Banco do Brasil, 52%; Infraero, 97%; ECT, 100%, Serpro, 100%; Embrapa,100%. Observa-se que em um ano, o Estado Brasileiro gastou com pagamento de juros R$ 236,7 bilhões e a soma de todos os seus investimentos em empresas estatais em 2011 era de R$ 270,0 bilhões, ou seja, em um ano, o Estado esterilizou o equivalente a 87,6% de tudo o que tem investido em estatais. Em dois anos (2010 e 2011) o Estado pagou de juros, R$ 432,3 bilhões.

A taxa de Juros Real no Brasil está diretamente relacionada a algumas variáveis. A primeira é o desequilíbrio fiscal do Estado brasileiro. O Estado, nos anos 90, promoveu amplo processo de privatização, que tinha como um dos objetivos diminuir seu peso para a sociedade. Parece não ter conseguido êxito: continua obeso, gerando déficit, e seu peso para a sociedade aumentou. A carta tributária nos últimos anos vem crescendo. A sociedade aguarda a reforma tributária que nunca bem. Nenhum político ou partido político quer assumir o ônus eleitoral de iniciar uma reforma tributária.

A segunda é a lei que garante o rendimento da Caderneta de Poupança. O rendimento é garantido por Lei, tendo sido fixado em 0,5% (meio ponto percentual) ao mês. Considerando juro composto, equivalente a 6,17% ao ano, acrescido de correção mensal calculado pela Taxa de Referência (TR).

No cenário atual, se a taxa de juros real da economia ficar abaixo de 6,0% ao ano, os investidores vão preferir investir seus recursos na poupança do que em títulos públicos. Este cenário ocorrendo, o governo fica sem condição de colocar seus títulos no mercado interno e consequentemente rolar sua dívida ou contrair dívida nova.

Passo 2

CASO A

A respeito da aplicação tem-se:

I= A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%

Aplicação = 4280,87 Rendimento = 2200,89 Tempo = 1389

(1,51)^1389 = 1+i=

0,0002987 = i

i = 0,02987%

II= A taxa média mensal da remuneração é de 1,2311%

6481,76 = 4280,87 (1+i) 30

(1,51)^30 = 1+i

1,011383-1 = i

i = 1,3831%

III- A taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizadas mensalmente é de 11,3509%

Ie=(1=i)^n-1

Ie=(1+0,108)^0,08333333-1

Ie= 0,008583007x100

Ie=0,85%

CASO B

Taxa nominal= 25,78% = (1+in)

Taxa de juro real = ? = (1+ir)

Taxa de inflação = 121,03% = (1+ij)

Fórmula => (1+in) =(1+ir). (1+ij)

(1+25,78/1000) = ( 1+ir) . (1+121,03/100)

(1+25,78) = (1+ir) . (1+1,2103)

(1+ir) = 1,2578 / 2,2103

ir = 0,569063023-1

ir = -0,430936977 logo ir = =43,0937%

Passo 3

CASO A

Associar o múmero 3, se as afirmações I. II e II estiverem respectivamente: certa, errada e errada.

CASO B

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.

ETAPA 4

Passo 1

Conceito de Amortização de empréstimos

A indisponibilidade de recursos para fazer um investimento leva o indivíduo a contrair um empréstimo. E, para sanar este compromisso pode recorrer a diversas formas de pagamento, que recebem o nome de Sistema de Amortização. Amortização é um processo financeiro pelo qual uma obrigação é sanada progressivamente por meio de pagamentos periódicos, de tal forma que, ao término do prazo estipulado, o débito seja liquidado.

Amortização também pode ser entendida como, um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.

Os principais sistemas de amortização são:

- Sistema de Pagamento único: um único pagamento no final;

- Sistema de Pagamentos variáveis: vários pagamentos diferenciados;

- Sistema Americano: pagamento no final com juros calculados período a período;

- Sistema de Amortização Constante (SAC): a amortização da dívida é constante e igual em cada período;

- Sistema Price ou Francês (PRICE): as prestações são iguais;

- Sistema de Amortização Misto (SAM): os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price;

- Sistema Alemão: os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.

Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor. Segue abaixo um breve comentário sobre o Sistema de Amortização Constante (SAC) e Sistema de Amortização Francês (PRICE).

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Pode ser definido como um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressões aritméticas, em que o valor da prestação é composto de uma parcela de juros uniformemente decrescente e a outra é de amortização que permanece constante. O sistema bancário utiliza esse sistema, geralmente, para empréstimos de longo prazo.

Sistema de Amortização Francês (PRICE)

Também conhecido como Sistema de Prestações Constantes ou Tabela Price, recebeu esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria de juro composto às amortizações de empréstimo. O nome de Sistema de Amortização Francês dá-se pelo fato de que foi utilizado pela primeira vez na França, no século XIX.Esse sistema caracteriza-se pelo pagamento do empréstimo com prestações iguais, periódicas e sucessivas. É utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. As prestações pagas são compostas por uma parcela de juros e outra de amortização. Como as prestações são constantes a medida em que a dívida diminui os juros também diminuem e, consequentemente, as quotas de amortização aumentam.

Passo 2

CASO A

Cálculo de Juros

Jn SDn x Xi Valor(R$)

J1 30.000,00 x 0,0280 = 840,00

J2 27.500,00 x 0,0280 = 770,00

J3 25.000,00 x 0,0280 = 700,00

J4 22.500,00 x 0,0280 = 630,00

J5 20.000,00 x 0,0280 = 560,00

J6 17.500,00 x 0,0280 = 490,00

J7 15.000,00 x 0,0280 = 420,00

J8 12.500,00 x 0,0280 = 350,00

J9 10.000,00 x 0,0280 = 280,00

J10 7.500,00 x 0,0280 = 210,00

J11 5.000,00 x 0,0280 = 140,00

J12 2.000,00 x 0,0280 = 70,00

Cálculo do valor das parcelas

PMTn An + Jn Valor (R$)

PMT1 2.500,00 + 840,00 = 3.340,00

PMT2 2.500,00 + 770,00 = 3.270,00

PMT3 2.500,00 + 700,00 = 3.200,00

PMT4 2.500,00 + 630,00 = 3.130,00

PMT5 2.500,00 + 560,00 = 3.060,00

PMT6 2.500,00 + 490,00 = 2.990,00

PMT7 2.500,00 + 420,00 = 2.920,00

PMT8 2.500,00 + 350,00 = 2.850,00

PMT9 2.500,00 + 280,00 = 2.780,00

PMT10 2.500,00 + 210,00 = 2.710,00

PMT11 2.500,00 + 140,00 = 2.640,00

PMT12 2.500,00 + 70,00 = 2.570,00

N SD (R$) Na (R$) Jn (R$) PMT (R$)

0 30.000,00

1 27.500,00 2.500,00 840,00 3.340,00

2 25.000,00 2.500,00 770.00 3.270,00

3 22.500,00 2.500,00 700,00 3.200,00

4 20.000,00 2.500,00 630,00 3.130,00

5 17.500,00 2.500,00 560,00 3.060,00

6 15.000,00 2.500,00 490,00 2.990,00

7 12.500,00 2.500,00 420,00 2.920,00

8 10.000,00 2.500,00 350,00 2.850,00

9 7.500,00 2.500,00 280,00 2.780,00

10 5.000,00 2.500,00 210,00 2.710,00

11 2.500,00 2.500,00 140,00 2.640,00

12 2.500,00 2.500,00 70,00 2.570,00

Total 2.500,00 30.000,00 5.460,00 35.460,00

CASO B

Se Ana tivesse se acertado com a irm? o sistema de amortiza玢o das parcelas se daria pelo sistema PRICE, o valor da amortiza玢o para o 7?per韔do seria de R$ 2.780,00 e o saldo devedor atualizado para o pr髕imo per韔do seria de R$ 2.322,00 e o valor dos juros correspondnte seria de R$ 718,00.

Passo 3

Desafio do Caso A:

Associar o n鷐ero 3, se a afirma玢o estiver errada.

Desafio do Caso B:

Associar o n鷐ero 4, se a afirma玢o esiver correta.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

De forma simplificada, pode-se dizer que a Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Financeira que estuda o comportamento do dinheiro no tempo, a mesma busca ainda, quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo. As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: a taxa de juros, o capital e o tempo.

Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, diz-se que há um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), diz-se que há um sistema de capitalização composta (Juros compostos). Para finalizar, ressaltam-se os Sistemas de Amortização, que são utilizados pra liquidar dívidas de forma que, as partes envolvidas tenham poder satisfatório sobre as ações integradas na negociação.As etapas e passos mostrados nesta atps não concluem este assunto que é amplo, entretanto é um bom começo para iniciar um aprimoramento da matematica financeira, da calculadora financeira (hp-12c) e a planilha excel que sera de suma importancia para a continuidade do curso de ciencias contabeis.

Tambem como já foi visto, a matemática financeira garante, de fato, a obtenção de resultados mais seguros em diversas áreas nas quais é aplicada. Como o ambiente empresarial é caracterizado pela variabilidade e imprecisão dos fatores necessários para a apuração de seus custos, se torna interessante o auxílio da matemática financeira a fim de se causar a diminuição dessas incertezas e, assim, obter decisões mais coerentes.

Como explicitado, representar os custos através da matemática financeira torna a solução mais exata, e permite que sejam conhecidos o melhor e o pior resultado, acarretando no conhecimento do risco que corre uma empresa. Essa informação é considerada vantajosa, visto que permite que o gestor empresarial tome decisões com uma maior segurança.

Esta atps pode ser visto, então, como um incentivo para uma série de estudos futuros envolvendo tópicos mais avançados da matemática financeira, uma vez que foram apresentados apenas algumas etapas e passos de seus conceitos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

KUHNEN, OSMAR LEONARDO. Finanças Empresariais. 2. Ed. São Paulo: Atlas, 2008.

PUCCINI, ABELARDO DE LIMA. Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada. 7. Ed. São Paulo: Saraiva, 2004.