Matematica Financeira

Juros Compostos

Conceito

Antes de começarmos a estudar juros compostos, a título de comparação faremos uma pequena revisão do regime de capitalização simples. Nos capítulos anteriores, vimos que os JUROS SIMPLES apresentam as seguintes características:

1. são calculados sobre o capital inicial;

2. são diretamente proporcionais ao prazo (ou número de períodos), ao capital aplicado e à taxa de juros da aplicação;

3. são adicionados ao capital inicial no final do prazo, formando o montante.

Em suma,

Js = C.i.n

Ms = C(1 + in)

No regime de JUROS COMPOSTOS os juros são capitalizados não no final do prazo e sim no final de cada período, ou seja, o juro do primeiro período é adicionado ao capital inicial e sobre esse montante é calculado o juro do segundo período que por sua vez será adicionado ao montante anterior para que se calcule o juro do período seguinte, e assim sucessivamente.

Vamos a um exemplo:

Você aplicou 1.000 em uma insituição financeira a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses. Vamos calcular o montante M3 no final desse prazo.

Temos que:

C = 1.000

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

n = 3 (capitalização mensal)

Então, o montante M1 no final do primeiro período será dado por:

M1 = 1.000

M1 = 1.000 . 1,02

M1 = 1.020

O montante M2 no final do segundo período será dado por:

M2 = 1.020 (1 + 0,02)

M2 = 1061,21

O montante M3 no final do terceiro período será dado por:

M3 = 1.040,40 (1 + 0,02)

M3 = 1.061,21

Verifique que montante do primeiro período foi utilizado para o cálculo do juro do segundo período e assim sucessivamente.

Fórmula do Montante a Juros Compostos

Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de juros compostos i ao período.

Calculemos o montante Mn no final dos n períodos utilizando o mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, período a período.

M1 = C(1 + i)

M2 = M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2

M3 = M2 (1 + i) = C(1 + i)2 . (1 + i) = C(1 + i)3

Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica:

M1 = C(1 + i)

Para o montante do segundo período, encontramos:

M2 = C(1 + i)2

Para o montante do terceiro,

M3 = C(1 + i)3

É facil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será:

Mn = C(1 + i)n

O fator (1 + i)n é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação.

A fórmula dos juros compostos acumulados ao final do prazo é obtida a partir da fórmula geral de juros, conforme segue:

J = M – C

J = C(1 + i)n – C

Colocando C em evidência, obtemos:

Jn = C [ (1+ i)n – 1]

Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos?

Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo da matemática financeira.

Existem determinadas expressões que indicam o regime de capitalização composta, tais como:

 juros compostos

 capitalização composta

 montante composto

 taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com capitalização anual)

 taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente (indica juros compostos com capitalização a cada bimestre)

A principal diferença entre o regime simples e o composto, entretanto, é que, em juros compostos, é necessário que saibamos, através do enunciado do problema, o período das capitalizações. Em juros simples podíamos escolher o período de capitalização que nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal (2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual. Em juros compostos não podemos fazer isso, pois o problema dirá como devemos CAPITALIZAR A TAXA, ou seja, se os períodos serão mensais, anuais etc.

Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA.

Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.

Exemplos:

 dada uma taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA MENSALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa igual a 4% ao mês.

 dada a taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA SEMESTRALMENTE, devemos tranformá-la em uma taxa de 24% ao semestre.

Se não houver nenhuma indicação de como a taxa deva ser capitalizada ou nenhuma referência a regime composto, presumimos que o regime de capitalização seja simples.

Exercícios resolvidos

1. Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados